ויקיפדיה

טופולוגיית זריצקי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: אידאל
שורה 12:
== תכונות ==
 
תהי <math>A = k[x_1,...,x_n]</math> [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] ה[[פולינום|פולינומים]] מעל [[שדה סגור אלגברית]] k, ויהי <math>I \subset k[x_1,...,k_n]</math> [[אידיאלאידאל (אלגברה)]] כלשהו. נגדיר
: <math>\mathcal{V}(I) = \left\{ x \in k^n | \forall f \in I : f(x) = 0 \right\}</math>
אזי:
שורה 20:
# <math>\mathcal{V}(I_1 I_2) = \mathcal{V}(I_1 \cap I_2) = \mathcal{V}(I_1) \cup \mathcal{V}(I_2)</math>.
# <math>\mathcal{V}\left( \sum_{\lambda} I_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda} \mathcal{V}(I_\lambda)</math>.
# כל נקודה <math>a \in k^n</math> היא [[קבוצה סגורה]] (היא מאפסת את [[אידיאלאידאל מקסימלי|האידיאלהאידאל המקסימלי]] שנוצר על ידי <math>( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n )</math> , ראו [[משפט האפסים של הילברט]]).
נגדיר לכל <math>H \subset k^n</math> את
: <math>\mathcal{I}(H) = \left\{ f \in A | \forall x \in H : f(x) = 0 \right\} = \left\{ f \in A | \quad f|_H = 0 \right\} </math>
זהו [[אידיאלאידאל (אלגברה)|אידיאלאידאל]] ב-A. אזי:
# זהו [[אידיאלאידאל רדיקלי]]: <math>\sqrt{ \mathcal{I}(H) } = \mathcal{I}(H)</math>.
# [[משפט האפסים של הילברט]]:
## <math>\mathcal{V}(\mathcal{I}(H)) = \overline{H}</math> (ה[[סגור]] של H).
## לכל אידיאלאידאל <math>I \subset A</math> מתקיים <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I)) = \sqrt{I}</math>.
# "הופך סדר הכלה": <math>H_1 \subset H_2 \Rightarrow \mathcal{I}(H_1) \supset \mathcal{I}(H_2)</math>
# <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1)) \iff \sqrt{I_2} \subset \sqrt{ I_1 } \iff \mathcal{V}(I_2) \supset \mathcal{V}(I_1)</math>.
# <math> \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) = \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1)) \iff \sqrt{I_2} = \sqrt{ I_1 } \iff \mathcal{V}(I_2) = \mathcal{V}(I_1)</math>.
 
מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] בין הקבוצות הסגורות של <math>k^n</math> לבין האידיאליםהאידאלים הרדיקליים של <math>A = k[x_1,...,x_n]</math>. ניתן להכליל זאת ל-k-אלגברה כללית A כאשר את <math>k^n</math> מחליפה <math>\mathrm{Max}(A)</math> שהיא קבוצת [[אידיאלאידאל מקסימלי|האידיאליםהאידאלים המקסימליים]] של A. במקרה ש-A היא אלגברת הפולינומים <math> k[x_1,...,x_n]</math> ניתן להראות באמצעות [[משפט האפסים של הילברט]] (בגרסתו החלשה) ש-<math>\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n</math>.
 
== ראו גם ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/טופולוגיית_זריצקי"