מכרז הכל משלמים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mottahedeh (שיחה | תרומות)
ביטול גרסה 12816134 של אורח פורח (שיחה)
Mottahedeh (שיחה | תרומות)
ביטול גרסה 12816125 של אורח פורח (שיחה)
שורה 1:
ב[[תורתבתורת המשחקים]], '''מכרז הכל משלמים''' (ב[[אנגלית]]: '''all-pay auction''') הינו סוג של [[מכירה פומבית]] בה מוצע למכירה חפץ מסוים, וכל קונה המשתתף במכרז מגיש הצעת מחיר לקנייתו. זהו מכרז סגור - הצעות המחיר מוגשות במעטפות סגורות, כלומר אין הקונים יודעים על הצעות המחיר האחד של השני. הזוכה במכירה הוא מגיש הצעת המחיר הגבוהה ביותר. במנגנון זה, כל קונה משלם את הצעת המחיר שהגיש, בין אם זכה בחפץ ובין אם לא. בכך נבדל סוג זה של מכירות פומביות מאלו מסוג [[מכרז סגור מחיר ראשון|מכרז מחיר ראשון]], בהן רק הזוכה בחפץ משלם את גובה הצעתו.
 
למכרז זה שימושים רבים ב[[כלכלה]], ובנוסף הוא מהווה מודל מתאים לתחרויות בהן מתקיים כי גם קונה שאינו זוכה משלם את הצעת המחיר שהגיש. לדוגמא, במירוץ חימוש בין מדינות, המדינה הזוכה במירוץ היא זו שהגיעה לכמות החימוש הגדולה ביותר, ואמנם כל המדינות "משלמות" את גודל השקעתן.
 
== הגדרה פורמאלית ==
תהי <math>N = \{b_1,\ldots,b_n\}</math> קבוצת הקונים במכירה. כל קונה <math>b_i</math> מגיש הצעת מחיר <math>x_i</math> אי-שלילית, במעטפה סגורה. הערך הפרטי של הקונה
<math>b_i</math> לחפץ הנמכר מסומן ב- <math>v_i</math>.
שורה 9:
 
כאשר בידינו אינפורמציה מלאה, נקבל כי התשלום לקונה <math>b_i</math> הינו כדלקמן:
* אם קיים <math>j</math> כך ש- <math>x_j>x_i</math>, אזי התשלום הוא <math>-x_i</math>.
* אם <math>b_i</math> הגיש את הצעת המחיר הגבוה ביותר יחד עם עוד <math>m-1</math> קונים, אזי התשלום הוא <math>\frac{v_i}{m}-x_i</math>.
* אם לכל <math>j \neq i</math> מתקיים <math>x_j<x_i</math>, אזי התשלום הוא <math>v_i-x_i</math>.
 
== דוגמאות ==
'''דוגמה פשוטה''':
 
שורה 22:
 
ביחס למשחק זה, מתקיים:
* [[תכסיס מעורב|אסטרטגיה מעורבת]] של שחקן היא [[פונקציית הסתברות]] על הצעות המחיר האפשריות - כלל הערכים בין 0 ל-100.
* אסטרטגיה מעורבת מיוצגת ע"י פונקציית הסתברות <math>P</math>, כך ש-<math>P(x)</math> נותן את ההסתברות שקונה יתן הצעת מחיר קטנה או שווה ל-<math>x</math>. בפרט: <math>P(0) = 0, P(100)=1</math>.
 
נחפש שיווי משקל סימטרי. נניח כי הקונים <math>b_2,...,b_n</math> משתמשים באסטרטגיה המעורבת <math>P</math>, וכי הקונה <math>b_1</math> מגיש את הצעת המחיר <math>x</math>. התשלום של <math>b_1</math> מחושב ע"י:
שורה 34:
<center><math>P(x) = {(\frac{x}{100})}^{\frac{1}{n-1}}</math>
</center>
 
 
 
'''מכרז הכל משלמים, [[מכרז מחיר שני|מחיר שני]] עם שני קונים''':
שורה 46 ⟵ 48:
\end{matrix}\right.</math>
</div>
 
 
ובנוסף, <math>u_1 (x,x) = v_1-x , u_2(x,x) = -x</math>.
שורה 54 ⟵ 57:
 
הזוג <math>(x,x)</math> לא מהווה נקודת שיווי משקל נאש לאף ערך של <math>x</math>, מכיוון שהקונה <math>b_2</math> יכול להעלות את התשלום שלו ע"י העלאת הצעת המחיר שלו במקצת או ע"י הפחתתה ל-0.
 
 
 
 
 
'''דוגמאות מחיי היום-יום''':
שורה 59 ⟵ 66:
למכרז הכל משלמים ביטויים רבים בעולם הספורט, בפוליטיקה, במחקר ופיתוח ועוד.
 
* קמפיין בחירות: ההשקעה הכספית של המפלגה ה-i בקמפיין הינה למעשה הצעת המחיר <math>x_i</math>. נניח כי רק מפלגה אחת זוכה בבחירות, והיא זו שמשקיעה הכי הרבה כסף בקמפיין. ואכן, על אף שרק מפלגה אחת זוכה בבחירות - כולן משלמות את ההוצאות על הקמפיינים.
* מעולם המכירות: לחנות המוכרת מוצר, ישנה האפשרות לקיים עבורה מכירה פומבית מסוג מכרז הכל משלמים, במקום המכירה הפומבית הקלאסית מסוג מכרז סגור מחיר ראשון. כביכול, עדיף לחנות להשתמש בסוג זה של מכירות פומביות שכן כאן כולם משלמים, בין אם זכו במוצר ובין אם לא. אמנם, הקונים מודעים לכך שהמכירה היא מסוג זה ולכן ינהגו בחוכמה (אנו מניחים כי המשחק הוא רציונלי) ויהיו מתונים בהצעות המחיר כדי למנוע מצב של תשלום גבוה לחינם.
* ניתן לחשוב גם על הגרלות הלוטו כעל מכרז הכל משלמים, שכן כל קוני כרטיסי ההגרלה שילמו עבורם, ואמנם לא כולם זוכים.
 
== '''משפט'''‏‏‏<ref>המשפט לקוח מהספר "תורת המשחקים" מאת שמואל זמיר, מיכאל משלר ואילון סולן. את הוכחת המשפט ניתן למצוא גם כן בספר. העמודים הרלוונטיים הם 469, 477, 479-480.</ref> ==
‏תהי <math>\beta</math> אסטרטגיית [[שיווי משקל נאש|שיווי משקל]] סימטרי, גזירה, מונוטונית עולה המקיימת <math>\beta(0)=0</math> במכרז הכל משלמים. אזי:
<center><math>\beta(v) = F_Y (v)E[Y|Y\leq v]</math>