פונקציית בסיס 13 של קונוויי – הבדלי גרסאות

פונקציות רציפות נתפסות באופן אינטואיטיבי (ולא מדויק לחלוטין) כפונקציות שניתן לצייר את ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלהן בלי להרים את העפרון מהדף. לפי תפיסה אינטואיטיבית זו, אם פונקציה רציפה מקבלת בשתי נקודות שונות שני ערכים שונים, אז בדרכה מערך אחד לאחר היא תעבור גם דרך כל ערך שביניהם. זהו אכן התוכן של [[משפט ערך הביניים]]. נשאלת השאלה האם גם הכיוון ההפוך נכון: האם פונקציה העוברת בדרכה מערך אחד לאחר דרך כל ערך שביניהם, היא בהכרח רציפה?

 

 

הדוגמה הטיפוסית לטענה כי לא כל פונקציית דארבו רציפה היא הפונקציה <math>\ f(x)=\sin(1/x)</math> (כשמוסכם כי f(0)=0). פונקציה זו היא פונקציית דארבו בכל קטע שהוא, עם זאת היא אינה רציפה בנקודה x=0 (הפונקציה "משתוללת" בנקודה זו, ראו [[עקומת הסינוס של הטופולוגים]]). על אף שדוגמה זו מספיקה כדי להפריך את המשפט ההפוך למשפט ערך הביניים ולתת תשובה שלילית לשאלה ששאלנו, היא אינה דוגמה חזקה במיוחד. זאת משום שהפונקציה שבדוגמה [[נקודת אי רציפות|אינה רציפה]] בנקודה יחידה בלבד, ורציפה בכל נקודה אחרת. ניתן לעדן את המשפט ההפוך כך שהדוגמה הזו לא תספיק: נשאל את השאלה, "האם פונקציית דארבו מוכרחה להיות רציפה [[כמעט בכל]] נקודה?". הפונקציה f שהצגנו רציפה בכל נקודה פרט לאפס, ולכן אין היא מספיקה כדי לשלול את הטענה בשאלה החדשה. לשם כך הציג קונוויי פונקציה מתוחכמת מעט יותר, שהיא פונקציית דארבו לכל דבר, ובכל זאת, אינה רציפה באף נקודה.