בעיית ברנסייד – הבדלי גרסאות

חבורה היא '''נוצרת סופית''' אם יש קבוצה סופית, S, כך שכל איבר בחבורה הוא מכפלה באורך כלשהו של איברים מתוך S. בדרך כלל חבורה נוצרת סופית עשויה להיות אינסופית, והסיבה הפשוטה ביותר לכך היא שהיוצרים ב-S עשויים להיות בעלי [[סדר (תורת החבורות)|סדר]] אינסופי בעצמם. למשל, [[החבורה הציקלית האינסופית]] נוצרת על- ידי איבר אחד, ויש בה כמובן אינסוף איברים. ברנסייד שאל האם חבורה נוצרת סופית שבה לכל איבר יש סדר סופי מוכרחה להיות סופית. זוהי גרסה ראשונה של הבעיה:

אפשר להגביל את החבורה מעט יותר, ולדרוש שכל איבר שלה יקיים את החוק <math>\ x^e=1</math> (כלומר, אותו e עבור כל האיברים בחבורה). דרישה זו מובילה לגרסה שניהשנייה:

את החבורה הנוצרת על- ידי d יוצרים, שבה מתקיים רק החוק <math>\ x^e=1</math> ומסקנותיו, מסמנים ב-<math>\ B(d,e)</math> - זוהי חבורת ברנסייד עם d יוצרים מאקספוננט e. הגרסה השניההשנייה שקולה, אם כך, לשאלה האם <math>\ B(d,e)</math> סופית.