אינוולוציה (תורת החוגים) – הבדלי גרסאות

==אינוולוציות של אלגברות פשוטות==

 

 

כאשר R [[אלגברה פשוטה]] המרכז שלה הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. ממיינים את האינוולוציות לשני סוגים, לפי הפעולה שלהם על המרכז:

לדוגמה, פעולת ה[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] של מטריצות היא אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות. הפעולה <math>\ a \mapsto a^*</math>, המעתיקה מטריצה ל[[מטריצה צמודה|מטריצה הצמודה]], היא אינוולוציה מסוג שני של אלגברת המטריצות מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]], המשרה את [[צמוד מרוכב|הצמוד המרוכב]] כאוטומורפיזם של המרכז.

 

 

מאינוולוציה נתונה אפשר ליצור אינוולוציות חדשות: אם <math>\ x\mapsto x^*</math> אינוולוציה של R, אז לכל <math>\ u\in R</math> הפיך, <math>\ x \mapsto u x^*u^{-1}</math> היא אנטי-אוטומורפיזם , וזו אינוולוציה אם <math>\ u^*u^{-1}</math> הוא איבר מרכזי. כשהאינוולוציה מסוג ראשון, התנאי הזה מכריח את u להיות סימטרי או אנטי-סימטרי. מעובדה זו נובע שכל אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות צמודה לאחת משתי אינוולוציות: השחלוף ("האינוולוציה האורתוגונלית" של המטריצות), ו[[האינוולוציה הסימפלקטית]] (הקיימת רק בממד זוגי). בעקבות כך אפשר למיין את האינוולוציות מסוג ראשון של אלגברה מדרגה סופית לשני טיפוסים, לפי התנהגות האינוולוציה לאחר [[הרחבת סקלרים]] ל[[שדה פיצול]]: האינוולוציה היא '''מטיפוס אורתוגונלי''' אם היא נעשית אורתוגונלית, ו'''מטיפוס סימפלקטי''' אם היא נעשית סימפלקטית. אינוולוציה מסוג שני נקראת תמיד '''מטיפוס אוניטרי'''. (מטריצה המקיימת את התנאי <math>\ u^*u=1</math> נקראת [[מטריצה אורתוגונלית|אורתוגונלית]] עבור האינוולוציה האורתוגונלית, ו[[מטריצה אוניטרית|אוניטרית]] עבור האינוולוציה האוניטרית).