חוג דדקינד – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
רועי.ס (שיחה | תרומות)
רועי.ס (שיחה | תרומות)
שורה 33:
== חבורת מחלקות האידאלים ==
 
חבורת המחלקות של חוג דדקינד <math>\ R</math> מודדת עד כמה החוג אינו ראשי. יהי K שדה השברים של R. '''אידאל שברי''' של <math>\ R</math> הוא, על-פי ההגדרה, <math>\ R</math>-תת-[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] <math>\ I</math> של <math>\ K</math> כך שעבור <math>\ R d\niin dR</math> מתאים, מתקיים <math>\ dI=\{da | a \in I \} \subset R</math>. למשל, כל אידאל (רגיל) של R הוא גם אידאל שברי.
 
נסמן ב-<math>\ Id(R)</math> את קבוצת האידאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידאלים. כך הופכת קבוצה זו למונואיד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידאל שברי הוא אידאל הפיך, זוהי [[חבורה אבלית]] - ומתכונת הפירוק היחיד של אידאלים נובע שהיא [[חבורה אבלית חופשית]] הנוצרת על ידי אוסף האידאלים הראשוניים של החוג. ([[אמי נתר]] הוכיחה ש[[תחום שלמות]] שלקבוצת האידאלים השברים שלו עם פעולת הכפל יש מבנה של חבורה - הינו חוג דדקינד).
 
קבוצת האידאלים השבריים הראשיים, שלהם הצורה <math>\ bR = \{ ba \ | \ a \in R \}</math> עבור <math>0\ K \nine b \nein 0K</math>, היא תת-חבורה של <math>\ Id(R)</math>. '''חבורת מחלקות האידאלים''' <math>\ Cl(R)</math> של <math>\ R</math> היא חבורת המנה של <math>\ Id(R)</math> ביחס לחבורת האידאלים הראשיים.
 
חבורת המחלקות היא טריוויאלית בדיוק כאשר כל אידאל (שברי) הוא ראשי - כלומר, כאשר החוג ראשי. במקרים רבים (למשל, עבור חוגי שלמים של שדה מספרים), החבורה סופית.