הכפלת הקובייה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הוכחה |
מ ←הוכחה |
||
שורה 14:
==הוכחה==
ניתן להראות שכל המספרים הניתנים לבנייה שייכים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] המהווה [[הרחבת שדות|הרחבה]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] <math>2^n</math> (כאשר n הוא [[מספר טבעי]] כלשהו) של [[שדה המספרים הרציונליים]], כיוון שחיתוך של שני [[ישר]]ים משאיר את המספר באותו הממד, ואילו חיתוך של ישר עם [[מעגל]] או שני מעגלים יוצר הרחבה ריבועית. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] ש-<math>\sqrt[3]{2}</math> ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה, אז הוא צריך להיות שייך לשדה כאמור (נסמן אותו ב-F). שדה זה חייב [[הכלה (תורת הקבוצות)|
:<math>[F:\mathbb{Q}] = [F:\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]</math>
| |||