הבדלים בין גרסאות בדף "שילוש זווית"

נוספו 2,042 בתים ,  לפני 8 שנים
הוכחה
(הוכחה)
ב[[גאומטריית המישור]], בעיית '''שילוש הזווית''' (או '''טריסקציה של זווית''') מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות [[סרגל ומחוגה]]. זוהי אחת מן [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]], ובעקבותשלא התפתחותנמצא לה פתרון במשך 2000 שנה. ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] פותחה [[תורת גלואה]] ידועשאפשרה היוםלהוכיח שלאכי ניתןשילוש לפתורזווית אותהאינו אפשרי באמצעות [[בניהסרגל במחוגה וסרגל|מחוגה וסרגל]]ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של [[משולש שווה-צלעות]] לא ניתן לשלש במחוגהבסרגל וסרגלומחוגה.
 
עם זאת, אפשר לשלש זוויות אם נעזרים בכלים נוספים (מלבד סרגל ומחוגה):
* [[היפיאס]] (במאה הראשונה לפני הספירה) הראה שבעזרת [[קוואדרטריקס]] ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים. (שמו של עקום זה בא לו מיכולתו [[תרבוע העיגול|לרבע את המעגל]]).
* [[ארכימדס]] הראה שאפשר, בעזרת מחוגה ורצועה (סרגל כפול, כלומר סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים, במרחק ידוע), לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים. ראו איור משמאל.
 
==הוכחת אי-אפשרות==
קל לבנות זווית של <math>60^\circ</math> כי זו הזווית הפנימית ב[[משולש שווה צלעות]]. לכן כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של <math>20^\circ</math>. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך <math>\cos(20^\circ)</math> בתור ניצב ב[[משולש ישר זווית]] עם זווית של <math>20^\circ</math> ויתר באורך 1. מ[[זהויות טריגונומטריות]] פשוטות נובע ש:
:<math>4\cos^3(20^\circ)-3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = 1/2</math>
 
מכאן ש-<math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>8x^3-6x-1</math>. זהו [[פולינום אי-פריק]] מעל ה[[שדה המספרים הרציונליים]] (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן <math>\cos(20^\circ)</math> הוא [[מספר אלגברי]] מדרגה 3.
 
מספר יכול להתקבל כאורך של קטע ניתן לבנייה אם ורק אם הוא מוכל ב[[הרחבת שדות]] של הרציונליים מדרגה שהיא חזקה של 2 (כי בניות בסרגל ומחוגה מתקבלות מחיתוכים בין ישרים ומעגלים שמניבים הרחבות ריבועיות). לפי ההנחה <math>\cos(20^\circ)</math> ניתן לבנייה ולכן קיימת הרחבה <math>F/\mathbb{Q}</math>
כך ש-<math>[F:\mathbb{Q}] = 2^n</math> וכן <math>\cos(20^\circ) \in F</math>. אבל אז נקבל:
:<math>2^n = [F:\mathbb{Q}(\cos(20^\circ))]\cdot [\mathbb{Q}(\cos(20^\circ)):\mathbb{Q}] = [F:\mathbb{Q}(\cos(20^\circ))]\cdot 3</math>
 
קיבלנו ש-3 מחלק חזקה של 2 וזו סתירה.
 
==קישורים חיצוניים==