טופולוגיית זריצקי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ r2.7.2) (בוט מוסיף: ko:차리스키 위상 |
MathKnight (שיחה | תרומות) הרחבה |
||
שורה 33:
מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] בין הקבוצות הסגורות של <math>k^n</math> לבין האידאלים הרדיקליים של <math>A = k[x_1,...,x_n]</math>. ניתן להכליל זאת ל-k-אלגברה כללית A כאשר את <math>k^n</math> מחליפה <math>\mathrm{Max}(A)</math> שהיא קבוצת [[אידאל מקסימלי|האידאלים המקסימליים]] של A. במקרה ש-A היא אלגברת הפולינומים <math> k[x_1,...,x_n]</math> ניתן להראות באמצעות [[משפט האפסים של הילברט]] (בגרסתו החלשה) ש-<math>\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n</math>.
== הכללה ==
מהאמור לעיל, <math>\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n</math>. במקרה הזה, ניתן לראות שההתאמה בין [[אידיאל מקסימלי]] ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי
: <math>\vec{a}=(a_1 , ... , a_n ) \longleftrightarrow ( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n )</math>
כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את ה[[אידיאל (תורת החוגים)|אידיאל]] הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה,
: <math>\mathcal{V} \left( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n \right) = (a_1 , ... , a_n )</math>.
כעת, יהי I אידיאל בחוג <math>k[x]</math>, אזי <math>a \in \mathcal{V}(I)</math> אם ורק אם לכל <math>f \in I</math> מתקיים ש-<math>f(a)=0</math>, כלומר: לכל <math>f \in I</math> מתקיים <math>(x-a)|f(x)</math>, כלומר: האידיאל הנוצר על ידי f מוכל באידיאל המקסימלי הנוצר על ידי <math>(x-a)</math>. נכליל זאת: <math>x \in \mathcal{V}(I) \iff I \subset M_x</math> כאשר <math>M_x</math> הוא האידיאל המקסימלי המתאים ל-x.
באמעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k-אלגברה A טופולוגיית זריצקי לא רק על <math>\mathrm{Max}(A)</math> אלא גם על <math>\mathrm{Spec}(A)</math> - [[ספקטרום של חוג|אוסף האידיאליים הראשוניים]] של A. ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה:
: יהי <math>I</math> אידיאל ב-A, אזי [[אידיאל ראשוני]] P שייך ל-<math>\mathcal{V}(I)</math> אם ורק אם <math>I \subset P</math>,
ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> להיות [[קבוצה סגורה|הקבוצות הסגורות]] ב-<math>\mathrm{Spec}(A)</math>. הכללה זו מובילה למושג ה[[סכמה (מתמטיקה)]].
== ראו גם ==
| |||