קבוצת קנטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 58:
=== עוצמתה של קבוצת קנטור ===
עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שנקודות הקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון 2/3 ו-1/3 בצעד הראשון, אינן מוסרות (ולכן הן נכללות בקבוצת קנטור). כיוון שבתהליך יש מספר [[קבוצה בת-מנייה|בן מנייה]] של צעדים, הרי נובע
נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו <math>\aleph</math> איברים ([[עוצמת הרצף]]). עוצמה זו זהה לעוצמת הנקודות בקטע והיא גדולה מעוצמת הטבעיים (לפי [[האלכסון של קנטור]]). נעשה זאת על ידי כך שנראה שקיימת [[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינרי שלהם לא מופיעה הספרה 1. כזכור, פיתוח בבסיס עשרוני לכל <math>0 \le x \le 1</math> הוא
: <math>\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 10^{-n}}</math> כאשר <math>x_n \in \{0,1,\dots,9\}</math>,
([[פיתוח עשרוני|פיתוח]] זה איננו יחיד שכן 1 ואחריו סדרה אינסופית של אפסים שקול ל 0 ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)
שורה 79:
נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה 1 אינה בת מנייה; אבל ההתאמה
<math>\ \sum_{n=1}^{\infty} x_n 3^{-n} \mapsto \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} x_n 2^{-n}</math> ([[פונקציית קנטור]]) היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע [0,1]
=== מידתה של קבוצת קנטור ===
| |||