משפט הערך הממוצע של קושי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MerlIwBot (שיחה | תרומות)
מ בוט מסיר: zh,pms,pl,fr,ko,es,hu,it,gl,et,id,de,ja,el,ar,nl,sv,pt,is,eo,ru,sr,tr,th,mk,ca,fi,uk,sl,cs,fa,ur,lt,da (strongly connected to he:משפט הערך הממוצע של לגראנז')
שורה 8:
ראשית נשים לב כי אם <math>\ g(b)= g(a)</math> אז על פי [[משפט רול]] קיימת נקודה <math>\ x\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ g'(x)=0</math>, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח <math>\ g(b)\ne g(a)</math>.
 
כעת נגדיר פונקציה חדשה: <math>\ F(x)=f(x)-(f(a)+[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)])[g(x)-g(a)]</math>. פונקציה זו נבנית מהפונקציות <math>\ f,g</math> באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו <math>\ f,g</math>, היא רציפה בקטע <math>\ [a,b]</math> וגזירה בקטע <math>\ (a,b)</math>.
 
אם נציב, נקבל את השוויון <math>\ F(a)=F(b)=f(a)0</math>. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה <math>\ c\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ F'(c)=0</math>.
 
אבל <math>\ F'(x)=f'(x)-([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)])g'(x)</math>. ולכן: <math>\ f'(c)=([f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)])g'(c) </math>.