משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==
 
יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות <math>\ A_n</math> מהוות סדרה יורדת שבה '''הקוטר שואף לאפס''', אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות [[קומפקטיות|קומפקטיות]]: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות [[מרחב חסום לחלוטין|חסומות כליל]] תספיק, משום שהמרחב X שלם על-פי ההנחה.
 
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות <math>\ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_p</math>, כאשר <math>\ e_n</math> הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
33,518

עריכות