אובייקט חבורתי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: דוגמה; |
מ עיצוב |
||
שורה 4:
==הגדרה==
נניח כי ''C'' היא [[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] שבה יש [[אובייקט סופי]] - 1, וכמו כן לכל זוג אובייקטים <math>\,x,y \in \mathrm{Ob}(C)</math> קיימת [[מכפלה (תורת הקטגוריות)|מכפלה]] <math>\,x\times y</math>).
'''אובייקט חבורתי''' בקטגוריה ''C'' הוא אובייקט <math>\,G \in \mathrm{Ob}(C)</math> ביחד עם מורפיזמים:
* <math>\,m: G\times G\rightarrow G</math> (ניתן לחשוב על מורפיזם זה כעל פעולת הכפל של החבורה).
* <math>\,e:1 \rightarrow G</math> (המייצג את איבר היחידה של החבורה).
* <math>\,\mathrm{inv}:G\rightarrow G</math> (ניתן לחשוב על מורפיזם זה כעל פעולת ה[[איבר הופכי|הופכי]] של החבורה).
כך שהתכונות הבאות (המבוססות כמובן על אקסיומות החבורה) מתקיימות:
* המורפיזם ''m'' הוא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבי]], כלומר <math>\,m\circ (m\times 1_G) = m\circ(1_G \times m)</math> כאשר <math>\,1_G:G\rightarrow G</math> הוא מורפיזם הזהות של ''G''.
* המורפיזם ''e'' מקיים: <math>\,m\circ(1_G \times e) = p_1</math> ו- <math>\,m\circ(e \times 1_G) = p_2</math> כאשר <math>\ p_1:G\times 1 \rightarrow G</math> ו- <math>\ p_2:1\times G \rightarrow G</math> הן ההטלות הקנוניות.
* המורפיזם ''inv'' הוא הופכי דו-צדדי ל''m'', כלומר, אם <math>\,d:G\rightarrow G\times G</math> היא מורפיזם האלכסון ו-<math>\,e_G:G \rightarrow G</math> היא ההרכבה של המורפיזם היחיד מ-''G'' ל-''1'' עם המורפיזם ''e'', אז מתקיים: <math>\,m \circ (1_G \times \mathrm{inv}) \circ d = e_G</math> ו- <math>\,m \circ (\mathrm{inv} \times 1_G) \circ d = e_G</math>.
==דוגמאות==
| |||