כפייה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
GrouchoBot (שיחה | תרומות) מ r2.7.2) (בוט מוסיף: et:Forsseerimine (matemaatika) |
מ ←הקדמה |
||
שורה 2:
== הקדמה ==
הבעיות המרכזיות של תורת הקבוצות עוסקות בטענות (על [[מספר סודר|סודרים]] או על [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]] למשל), העשויות לנבוע או שלא לנבוע ממערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] נתונה. כדי להוכיח שטענה מסוימת היא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]] במסגרת התאוריה, יש לבנות לה [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]]: אוסף של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], המקיים את
באופן פורמלי, הבנייה של גדל מתחילה ממודל כלשהו של תורת הקבוצות (ללא דרישת אקסיומת הבחירה) M, ומגדירה בתוכו את ה[[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] L של כל הקבוצות הניתנות לבנייה. כעת ניתן להראות שכל האקסיומות של ZFC מתקיימות ב-L ובנוסף מתקיימות בו [[השערת הרצף|השערת הרצף המוכללת]] וטענות קומבינטוריות חזקות נוספות, מה שמוכיח את עקביותן. שיטה זו של לקיחת [[מודל פנימי|מודלים פנימיים]] של מודל נתון (כלומר הצטמצמות למחלקה של קבוצות בתוך המודל) תשמש בהמשך לבניות של מודלים נוספים, ובין השאר מודלים שלא מקיימים את אקסיומת הבחירה, אך ללא צעד נוסף לא נוכל להשתמש בה כיוון שקיום המחלקה L מוכיח את העקביות של [[אקסיומת הבנייה]] (V=L) ואם נבצע את הבנייה של L בתוך L נקבל את כל L בחזרה. לכן על ידי לקיחת מודלים פנימיים בלבד לא ניתן להוכיח אפילו את עקביות הטענה <math>V \neq L</math>. כדי להוכיח טענות נוספות נצטרך להרחיב את המודל.
הרעיון המרכזי בשיטת הכפייה הוא לצאת ממודל נתון של תורת הקבוצות, נאמר M, ולהרחיב אותו באמצעות הוספת '''קבוצה גנרית''' G; המודל המתקבל, <math>\ M[G]</math>, הוא האוסף הקטן ביותר של קבוצות הכולל את M ואת הקבוצה החדשה G, ומקיים את אקסיומות ZFC - אלו הקבוצות
נעיר כי באמצעות שיטות סטנדרטיות של [[תורת המודלים]] היה ידוע כבר לפני העבודה של כהן איך להרחיב מודלים נתונים של תורת הקבוצות, אך לא היה ברור איך לשלוט בתכונות של המודל המתקבל. למשל, חלק מהשיטות יספקו מודלים בהם יש סודרים אחרים. יתרון משמעותי של שיטת הכפייה הוא שהיא משמרת את הסודרים
== הגדרה פורמלית ==
| |||