כפייה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הקדמה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 59:
דוגמה מורכבת יותר לכפייה כזו היא '''מיטוט לוי''' - זו כפייה שממוטטת [[מונה אי-נשיג]] להיות עוקב של מונה רגולרי. ב-1970 [[רוברט סולוביי]] (Solovay), הראה שבמודל פנימי של המודל המתקבל ממיטוט לוי של אי-נשיג (שאינו מקיים את אקסיומת הבחירה), כל תתי הקבוצות של ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] הן [[מידת לבג|מדידות לבג]].
== מודלים בוליאניים ==
ניתן להגדיר את מושג הכפייה גם באמצעות שימוש ב[[אלגברה בוליאנית|אלגבראות בוליאניות]]. הרעיון הוא שבהינתן אלגברה בוליאנית שלמה B שנמצאת בתוך המודל M אפשר להגדיר "מודל" שערכי האמת שלו אינם רק "נכון" ו"שגוי" אלא איברים מ-B. בפרט לכל x,y לטענה <math>x\in y</math> יהיה ערך ששייך ל-B.
המודל הבוליאני הזה יקיים למשל שאם טענה אחת גוררת את התקיימות הטענה השנייה, אז ערך האמת של השנייה הוא גדול יותר משל הראשונה, במונחים של [[יחס סדר חלקי|יחס הסדר החלקי]] המוגדר על B. בנוסף, אם M קיים את אקסיומות ZFC אז המודל הבוליאני יקיים אותן עם ערך אמת 1 (המקסימום של B).
המקבילה שלנו למסנן הגנרי עבור יחס סדר כללי, היא [[על-מסנן]] ב-B שהוא M-שלם, כלומר על מסנן בו לכל <math>X\subset G, X \in M</math>, יש חסם תחתון ב-G לאיברי X. אפשר לחשוב על על-המסנן הזה כ"החלטה" אלו ערכי מתוך B מייצגים "אמת" ואלו מייצגים "שקר", ובכך G הופך את המודל עם הערכים הבוליאניים למודל סטנדרטי של תורת הקבוצות.
ההגדרה הזו שקולה להגדרה שהצגנו לעיל, כיוון שמצד אחד כפייה עם יחס הסדר החלקי <math>B\setminus\{0\}</math> מספקת על מסנן כרצוי, ומצד שני כל יחס סדר חלקי משוכן באופן צפוף באלגברה בוליאנית שלמה.
== ראו גם ==
* [[אקסיומת מרטין]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
| |||