אקסיומת ההחלפה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 11:
אקסיומת ההחלפה איננה אקסיומה בודדת כיוון שלא ניתן לכמת על פני הנוסחאות - זהו אוסף [[אינסוף|אינסופי]] [[קבוצה רקורסיבית|רקורסיבי]] של אקסיומות.
== היסטוריה ==
אקסיומת ההחלפה לא היתה חלק ממערכת האקסיומות המקורית אותה הציע [[ארנסט צרמלו|צרמלו]] ב-[[1908]]. מערכת האקסיומות של צרמלו, Z, הכילה את [[אקסיומת ההפרדה]], החלשה יותר. אקסיומת ההפרדה הוספה על ידי [[אדולף פרנקל|פרנקל]] בשנת [[1922]] והמערכת האקסיומות החדשה נקראה ZF. אקסיומת ההפרדה הוצעה באופן בלתי תלוי, מאוחר יותר באותה שנה, גם על ידי [[תורלף סקולם|סקולם]].
אקסיומת ההחלפה מגדילה באופן ניכר את החוזק של ZF במובן של המשפטים אותם ZF יכולה להוכיח לעומת Z. כך למשל, ב-ZF יש [[מודל]] עבור Z - <math>V_{2\cdot \omega}</math> (בסימונים של ההיררכיה של פון-נוימן). בנוסף, התורה Z אינה יכולה להוכיח כי המונה <math>\aleph_\omega</math> קיים, בעוד שבתורה ZF ניתן להוכיח כי לכל סודר <math>\alpha</math> קיים <math>\aleph_\alpha</math>.
נעיר כי חלק משמעותי מהמתמטיקה הסטנדרטית ניתנת לפיתוח כבר בתורה Z, ללא אקסיומת ההחלפה, אך קיימות תכונות משמעותיות של קבוצות של ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] אותן לא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. דוגמה מפתיעה היא ה[[כריעות (תורת הקבוצות)|כריעות]] של [[קבוצת בורל|קבוצות בורל]] - כדי להוכיח את המשפט המודל חייב להכיל את קבוצת החזקה ה-<math>\alpha</math> של הטבעיים, לכל סודר בן-מנייה.
בתחום של תורת הקבוצות קיימות תוצאות פשוטות בהרבה שלא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. כך, למשל, לא ניתן להוכיח כי הסודר <math>\omega + \omega</math> קיים במובן של פון-נוימן (כלומר כקבוצה שיחס הסדר שלה הוא יחס השייכות). זהו הסודר הראשון שלא ניתן להוכיח את קיומו במסגרת Z. נעיר כי ב-Z יש קבוצה סדורה היטב שטיפוס הסדר שלה הוא <math>\omega + \omega</math> אבל לא ניתן להמיר אותה לצורה הסטנדרטית ללא שימוש באקסיומת ההחלפה.
לעומת זאת, בהינתן אקסיומת ההחלפה טיפוס הסדר של מחלקת הסודרים הוא במובן מסוים [[מונה אי נשיג|אי נשיג]] (למעט העובדה שהוא לא מונה)- אין שום דרך להגדיר סדרה לא חסומה של סודרים שאורכה הוא סודר, כיוון שאז באמצעות ההחלפה ואקסיומת האיחוד נוכל למצוא סודר שגדול יותר מכל הסדרה.
== אקסיומות קשורות ==
'''אקסיומת האוסף''' היא הכללה של אקסיומת ההחלפה, בה אנחנו לא דורשים שהנוסחה תגדיר פונקציה אלא רק יחס, R, בו לכל איבר של x מתאים לפחות איבר אחד ביחס R. במקרה הזה היא מבטיחה שיש קבוצה z בה לכל איבר של x יש לפחות איבר אחד שמתאים לו ביחס R.
הצמצום של אקסיומה זו למקרים בהם בהם הנוסחה מגדירה פונקציה ייתן בדיוק את אקסיומת ההחלפה. מצד שני, ZF (ללא [[אקסיומת הבחירה]]) מוכיחה את הנכונות של אקסיומת האוסף.
'''[[אקסיומת ההפרדה]]''' היא סכימת אקסיומות שמכילה עבור כל נוסחה (עם פרמטרים) את הטענה שלכל קבוצה A קיימת קבוצה B שמורכבת בדיוק מאוסף כל האיברים של A שמקיימים את הנוסחה. אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה (בהנחה שקיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ריקה]]). נניח כי A קבוצה ואנחנו רוצים להראות שיש קבוצה B כך שיתקיים: <math>B = \{x \in A | \varphi(x,u)\}</math> (עבור קבוצה u מסוימת כפרמטר). נפריד לשני מקרים:
* אם אין איבר של x שמקיים את הנוסחה, אז <math>B=\empty</math>, והנחנו שזו קבוצה.
* אם יש איבר כזה, z, אז נגדיר את הפונקציה שעל קלט y תחזיר את y אם הוא מקיים את הנוסחה ואחרת את z. כעת, תמונת A תחת הפונקציה שהגדרנו היא בדיוק הקבוצה הרצויה.
כיוון שאקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יש ספרים מודרניים בתורת הקבוצות שמשמיטים אותה מרשימת האקסיומות.
מצד שני, ניתן להחליש את אקסיומת ההחלפה, ולדרוש רק שנוכל לחסום את תמונת כל פונקציה גדירה שמופעלת על קבוצה על ידי קבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו עדיין נדרשים לאקסיומת ההפרדה{{הערה|1=כך [[קנת' קונן|קונן]] מגדיר את האקסיומה בספרו set theory}}.
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
[[en:Axiom schema of replacement]]
[[cs:Schéma nahrazení]]
| |||