הוכחה – הבדלי גרסאות

האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? ברור שהאקסיומות אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה. אם נוכיח שהשערה מסוימת אינה ניתנת להוכחה ואף לא להפרכה, כפי שהוכח לגבי [[השערת הרצף]], נוכל לצרף את ההשערה הזו (או את שלילתה) לאוסף האקסיומות שלנו. האם בדרך זו נוכל להרחיב את אוסף האקסיומות, כך שנגיע למצב שבו כל טענה תהיה ניתנת להוכחה או להפרכה? תשובה לשאלה זו ניתנה בשנת 1931 במסגרת [[משפט אי השלמות של גדל]]: במתמטיקה (ולמעשה בכל [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] - שהנחותיה ניתנות לזיהוי מכני ("[[תורה אפקטיבית|אפקטיבי]]") - ושניתן לפתח בה את ה[[אריתמטיקה]] של החיבור ושל הכפל), תמיד תהיינה השערות אשר מחד גיסא ניתנות לניסוח בשפתה של התורה, ואשר מאידך גיסא אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה במסגרת אותה תורה.<br />