הוכחה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: לעתים, מסוי\1
שורה 25:
פעמים רבות ניתן להוכיח טענה מסוימת בדרכים שונות, ולעתים אף דרכים רבות למדי. [[משפט פיתגורס]] נודע במאות הוכחות שניתנו לו. למשפט הקובע שה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] הם [[קבוצה בת מניה]] מופיעות ב[[ויקיפדיה העברית|וויקיפדיה העברית]] שלוש הוכחות שונות, בערכים: [[קבוצה בת מנייה]], [[מספר רציונלי#תכונות המספרים הרציונליים|מספר רציונלי]] ו[[עוצמה (מתמטיקה)#שקילות בין קבוצות|עוצמה]].
 
נהוג לחתום הוכחות על ידי סימון מוסכם: בעברית: [[מש"ל]] (=מה שהיה להוכיח), באנגלית: .Q.E.D (מלטינית: quod erat demonstrandum, במובן שזהה מילולית אל זה של הביטוי העברי הנ"ל). לחלופין, נוהגים לעיתיםלעתים בימינו לסמן את סוף ההוכחה על ידי ציור של ריבוע ריק או מלא ({{Unicode|∎}}). חכמי ה[[תלמוד]] הבבלי, נהגו לחתום הוכחות בסימן ש"מ (מארמית: "שמע מינה"; מילולית: תשמע מזה [את מה שהיה להוכיח]).
 
==השערה==
שורה 32:
האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? שאלה זו תלויה קודם כל במערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] בה אנחנו משתמשים. כיוון שכל הוכחה בנויה משימוש חוזר ונשנה באקסיומות ובכללי ההיסק קביעת אוסף שונה של אקסיומות תתן אוסף שונה של משפטים שניתן להוכיח. לא ניתן לבחור את האקסיומות בצורה שרירותית לחלוטין: אם קיימת סתירה באוסף האקסיומות שלנו אז ניתן להוכיח מתוכו כל משפט (כלומר ניתן להוכיח גם טענה וגם את שלילתה), ולכן אוסף זה אינו מעניין.
 
אוסף אקסיומות שלא מכיל סתירה נקרא [[עקביות (לוגיקה)|עקבי]]. לאוסף כזה של אקסיומות יש [[מודל|מודלים]] שמממשים אותן, ו[[משפט השלמות של גדל]] טוען שאוסף המשפטים שניתן להוכיח מתוך האקסיומות הוא בדיוק אוסף המשפטים שמתקיימים בכל המודלים שמממשים את האקסיומות. לכן, אם לא ניתן להוכיח או להפריך טענה מסויימתמסוימת מתוך מערכת אקסיומות נתונה, ניתן להוסיף אותה או את שלילתה לאוסף האקסיומות ולקבל אוסף עקבי חדש של אקסיומות.
 
מצד שני, ניתן לשאול האם קיים אוסף אקסיומות שהוא מצד אחד עקבי ומצד שני מספיק רחב כדי שיהיה אפשר להוכיח מתוכו או להפריך מתוכו כל טענה? [[משפטי האי שלמות של גדל|משפט אי השלמות הראשון של גדל]] נותן תשובה שלילית לשאלה הזו עבור מקרים מעניינים רבים. מערכות אקסיומות שניתן לנסח בהן חלק מספיק משמעותי מהאריתמטיקה, לא יכולות להיות מצד אחד גדולות מספיק כדי שיהיה ניתן להוכיח או להפריך מתוכן כל טענה ומצד שני פשוטות לתיאור. באופן פורמלי: ב[[תורה]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] - שהאקסיומות שלה ניתנות לזיהוי מכני [="[[תורה אפקטיבית|אפקטיבי]]"] - ושניתן לפתח בה את ה[[אריתמטיקה]] (של החיבור ושל הכפל), תמיד תהיינה השערות אשר מחד גיסא ניתנות לניסוח (בשפתה של התורה), ואשר מאידך גיסא אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה (במסגרת אותה תורה).<br />