משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

שמירת ביניים
אין תקציר עריכה
(שמירת ביניים)
[[תמונה:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש-<math>f(c)=u</math>.]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט ערך הביניים''' מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של [[רציפות|פונקציות רציפות]] כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.
 
==ניסוח פורמלי==
תהי <math>f: \left[ a,b \right] \to \mathbb{R}</math> [[רציפות|פונקציה רציפה]] ב[[קטע]] <math>[a,b]</math>. המקיימתיהי <math>ft</math> \left(מספר aממשי \rightבין <math>f(a)</math> = cל-<math>f(b)</math>, וכן(כלומר <math>f(a)\le t \left(le f(b)</math> \rightאו <math>f(b)\le =t d\le f(a)</math>,). עבוראזי קיים <math>c,d \in \mathbb{R}[a,b]</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>.
<br>נניח בלי הגבלת הכלליות <math>\ c \le d</math>.
<br>
אזי לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>.
 
===ניסוח נוסף===
בהינתן קטע סגור <math> \ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math> ופונקציה רציפה <math>\ f:I\rightarrow \mathbb{R}</math>, אזי :
* תמונת הקטע <math>\ f(I)</math> היא גם קטע.
* מתקיים או ש -<math> \ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)</math> או ש <math> \ [f(b), f(a)] \subseteq f(I)</math>.
 
==הוכחה==
נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] ש-<math>f(a)\le f(b)</math> (ההוכחה למקרה <math>f(b)\le f(a)</math> זהה). אנו רוצים למצוא מספר <math>\ xc\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ f(xc)=yt</math> עבור <math>\ yt\isin(cf(a),df(b))</math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{tx\isin[a,b]|\mid f(tx)\le yt\right\}</math>. ברורזהו קבוצה לא ריקה (כי <math>\ a\isin A</math>) ולכןוחסומה זוהי(על קבוצהידי לא ריקה.<math>b</math>), מכאן שיש לה [[חסם עליון]], על פי [[אקסיומת השלמותהחסם העליון]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. נסמן חסם עליון זה <math>\ xc</math>, וכעת נוכיח כי <math>\ f(xc)=yt</math>.
 
נניח כי <math>\ f(xc)>yt</math>, אז <math>\ f(xc)-yt>0</math>, ולכן, מרציפות <math>\ f</math> נובע שקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |tx-xc|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(tx)-f(xc)|<f(xc)-yt</math>, כלומר <math>\ f(tx)>f(xc)-(f(xc)-yt)=yt</math>. אבל מאחר ש-<math>\ xc</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>, בכל סביבה שלו יש איבר מתוך <math>\ A</math>, ובפרט קיים <math>\ tx\isin A</math> כך ש-<math>\ |tx-xc|<\delta</math>, אבל זו סתירה, כי מהגדרת <math>\ A</math> נובע ש-<math>\ f(tx)\le yt</math>.
 
נניח כי <math>\ f(xc)<yt</math>, אז <math>\ yt-f(xc)>0</math> ולכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |tx-xc|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(tx)-f(xc)|<yt-f(xc)</math>, כלומר <math>\ f(tx)<f(xc)+(yt-f(xc))=yt</math>. כלומר, מצאנו איבר <math>\ tx>xc</math> שעבורו <math>\ f(tx)<yt</math>, בסתירה להיות <math>\ xc</math> חסם עליון.
 
מאחר ששללנו את האפשרויות <math>\ f(xc)>yt,f(xc)<yt</math>, בהכרח <math>\ f(xc)=yt</math>, כמבוקש.
 
==הטענה ההפוכה==
הטענה כי "אם לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>, אז f רציפה", אינה נכונה. [[דוגמה נגדית]] למשפט היא הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(1/x)</math> שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא [[פונקציית הבסיס-13 של קונוויי]].
 
==תכונת ערך הביניים==
אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע.
 
== ראו גם ==