משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
שמירת ביניים |
||
שורה 1:
[[תמונה:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש-<math>f(c)=u</math>.]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט ערך הביניים''' מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של [[רציפות|פונקציות רציפות]] כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.
==ניסוח פורמלי==
תהי <math>f
===ניסוח נוסף===
שורה 13 ⟵ 10:
בהינתן קטע סגור <math> \ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math> ופונקציה רציפה <math>\ f:I\rightarrow \mathbb{R}</math>, אזי :
* תמונת הקטע <math>\ f(I)</math> היא גם קטע.
* מתקיים או ש
==הוכחה==
נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] ש-<math>f(a)\le f(b)</math> (ההוכחה למקרה <math>f(b)\le f(a)</math> זהה). אנו רוצים למצוא מספר <math>\
נניח כי <math>\ f(
נניח כי <math>\ f(
מאחר ששללנו את האפשרויות <math>\ f(
==הטענה ההפוכה==
הטענה כי "אם לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>, אז f רציפה", אינה נכונה. [[דוגמה נגדית]] למשפט היא הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(1/x)</math> שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא [[פונקציית הבסיס-13 של קונוויי]].
==תכונת ערך הביניים==
אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע.
== ראו גם ==
|