משפט נילסן-שרייר – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
(יצירת דף עם התוכן "בתורת החבורות, '''משפט נילסן-שרייר''' קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית איזומורפיזם|אי...")
 
אין תקציר עריכה
 
==הוכחה==
[[קובץ:Wedge of Two Circles.png|250px|ממוזער|מרחב המתקבל מהדבקת שני מעגלים. החבורה היסודית של המרחב היא החבורה החופשית הנצורת על ידי שני איברים: לולאה סביב המעגל הראשון ולולאה סביב המעגל השני.]]
הוכחה קצרה המבוססת על [[טופולוגיה אלגברית]] נמצאה על ידי [[ריינהולד בר]] ו[[פרידריך לוי]].
 
תהי <math>\ \langle X\rangle</math> חבורה חופשית. נסתכל על ה[[מולטיגרף]] עם צומת אחד ועם <math>|X|</math> קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו [[מרחב טופולוגי]] המתקבל מלקיחת <math>|X|</math> עותקיםמעגלים שלוהדבקתם [[קטעזה היחידה]]לזה וזיהויבנקודה כלאחת נקודותמשותפת הקצהלכל של כל הקטעים זו עם זוהמעגלים. ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של המולטיגרף היא <math>\ \langle X\rangle</math> - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר. כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של [[מרחב כיסוי]], שגם הוא מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית נקבל את משפט נילסן-שרייר.
 
נבחר [[עץ פורש]] של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של [[מרחב מנה (טופולוגיה)|מרחב המנה]] של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף [[שקילות הומוטופית|הומוטופי]] למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם נקודה היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.