משפט נילסן-שרייר – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
 
להוכחת המשפט נחוצה [[אקסיומת הבחירה]], קיימים מודלים של [[ZF]] ללא אקסיומת הבחירה בהם המשפט לא נכון. בהינתן ZF, המשפט גורר גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה, לקבוצות סופיות.
 
להבדיל מתת-חבורות, כל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] היא [[חבורת מנה]] של חבורה חופשית.
 
==הוכחה==
הוכחה קצרה המבוססת על [[טופולוגיה אלגברית]] נמצאה על ידי [[ריינהולד בר]] ו[[פרידריך לוי]].
 
תהי <math>\ \langle X\rangle</math> חבורה חופשית. נסתכל על ה[[מולטיגרף]] עם צומת אחד ועם <math>|X|</math> קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו [[מרחב טופולוגי]] המתקבל מלקיחת <math>|X|</math> מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של המולטיגרף היא <math>\ \langle X\rangle</math> - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר. כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של [[מרחב כיסוי]], שגם הוא מולטיגרף. מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.
 
נבחר [[עץ פורש]] של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של [[מרחב מנה (טופולוגיה)|מרחב המנה]] של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף [[שקילות הומוטופית|הומוטופי]] למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם נקודה היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.