משפט רושה-קפלי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 45:
 
==הוכחה==
 
נניח כי למערכת <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> יש פתרון <math>\bold{c}</math>. במילים אחרות, מתקיים כי <math>A\bold{c}=\bold{b}</math>.
 
ובאופן מפורש:
:<math>\begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c + \begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c + ... +\begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c =
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}</math>
 
נובע מכך כי <math> \bold{b}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}</math> מהווה צירוף לינארי של הווקטורים:<math>\begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c + \begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c + ... +\begin{bmatrix}a_{1_1}\\a_{2_1}\\ \vdots \\a_{m_1}\end{bmatrix}c</math>
 
באופן מידי ניתן להסיק כי:
:<math>
dimspan(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})=dimspan(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}, \bold{b})
</math>