משפט רושה-קפלי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 17:
 
 
נסמן כי <math>[A]</math> מייצגת את מטריצת המקדמים הסקלריים, <math>\bold{x}</math> מייצג את מטריצת הווקטורים, ו-<math>\bold{b}</math> מייצגת את מטריצת המקדמים החופשיים:
 
: <math>
[A]=
\begin{bmatrix}
a_{1_1} & a_{1_2} & \cdots & a_{1_n} \\
שורה 46:
 
 
החלק הראשון של המשפט קובע כי למערכת המשוואות <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> קיים פתרון, [[אם ורק אם]] ה[[דרגה (אלגברה לינארית)|דרגה של המטריצה]] <math>[A]</math>, שווה לדרגה של המטריצה <math>[A\bold{b}]</math>. כלומר, <math>rankArank[A]=rankArank[A\bold{b}]</math>.
 
חלקו השני של המשפט קובע כי הפתרון יחיד, אם ורק אם הדרגה של המטריצה <math>[A]</math> שווה למספר המשתנים במערכת. כלומר, <math>rankArank[A]=n</math>.
 
==הוכחה==
שורה 80:
 
;כיוון ראשון של השקילות
נניח כי עבור המערכת <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי <math>rank[A]<n</math>.{{הערה|לא ייתכן כי <math>rank[A]>n</math>, כי קיימים רק n איברים בקבוצה <math>rank[A]</math>.}}
נניח בשלילה כי
 
מההנחה כי <math>rank[A]<n</math> נובע שעבור המערכת <math>A\bold{x}=\bold{0}</math> קיימים לפחות שני פתרונות.{{מקור}} זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> יש פתרון יחיד, כי אם <math>/bold{x}</math> פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה <math>/bold{0}</math> נקבל את אותה תוצאה.
 
;כיוון שני של השקילות
נניח כי <math>rank[A]=n</math>, ונניח בשלילה שלמערכת <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> קיימים שני פתרונות שונים.
 
מהנתון <math>rank[A]=n</math> נובע כי למערכת <math>A\bold{x}=\bold{0}</math> יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי <math>/bold{0}</math>. אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של <math>A\bold{x}=\bold{b}</math> נקבל גם כן <math>/bold{0}</math>, ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
 
[[:קטגוריה:אלגברה לינארית]]