דעיכה מעריכית – הבדלי גרסאות

נוספו 750 בתים ,  לפני 9 שנים
מישהו יודע איך לקשר את זה ל"דעיכה מעריכית" ולאנגלית? ורפרנס לגרסה האנגלית כמקור?
(משהו זמני)
 
(מישהו יודע איך לקשר את זה ל"דעיכה מעריכית" ולאנגלית? ורפרנס לגרסה האנגלית כמקור?)
[[Image:Plot-exponential-decay.svg|thumb|400px|
'''דעיכה מעריכית''' מתארת תהליך בו קצב השינוי של ערך עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע. עבור ערך <math>A</math> המשתנה בזמן, כאשר מקדם היחס הוא <math>\lambda</math> חיובי כלשהו, ניתן לרשום זאת כ
ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]]
 
קצב השינוי של ערך ה'''דועך מעריכית''' עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,
:<math>\frac{d A(t)}{dt} = - \lambda A(t)</math>
 
:<math>\frac{d }{dt}A(t)}{dt} = - \lambda A(t)</math>
פתרון המשוואה ע"י [[הפרדת משתנים]] נותן
 
עבור הערך <math>A(t)</math> תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי <math>\lambda</math>. פתרון משוואה זו על ידי [[הפרדת משתנים]] נותן
:<math>A(t) = A(0) e^{-\lambda t}</math>
 
כאשר :<math>A(0t)</math> הוא= ערכוA(0) שלe^{-\lambda <math>At}</math> בזמן אפס.
 
==== דעיכת אוכלוסייה ====
כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה ב[[התפלגות פואסונית]]), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי
 
:<math>AP(t) = A(0)\lambda e^{-\lambda t}</math>
 
===== זמן אופייני =====
זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי
כאשר מדובר בדעיכה בזמן, נהוג להגדיר זמן אופייני כ <math>\tau = 1/\lambda</math>. במונחים של זמן זה ניתן לתאר את הכמות על ידי
 
:<math> \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot P(t)dt = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \equiv \tau</math>,
 
כאן נעשה שימוש ב[[אינטגרציה בחלקים]], זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב<math>\tau</math>. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך
 
:<math>A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}</math>.
 
לאחר הזמן האופייני כמותהערך החומר תהיהיורד ל<math>e^{-1}</math>. אם הכמות המתוארת היא קבוצת חלקיקים, זמן זה יהיה זמן השהייה הממוצע של חלקיקמערכו בקבוצהההתחלתי.
 
===== [[זמן מחצית חיים]] =====
לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי
הזמן הנדרש לירידה למחצית מהערך המקורי ניתן על ידי
 
:<math>t_{1/20.5} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>.
44

עריכות