ויקיפדיה

פונקציה קבועה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
←‏תכונות: כללי יותר (למרות שלעתים חוג הפולינומים וחוג הפונקציות הפולינומיות לא מתכדים, אבל הרעיון ברור)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
'''פונקציה קבועה''' היא [[פונקציה]] שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. כלומר לכל x ו-y בתחום מתקיים <math>f(x) = f(y)</math>.
 
דוגמה: הפונקציה <math>\ f(x) =\equiv 1</math>, שלכל ערך מחזירה 1, היא פונקציה קבועה. לעומת זאת, הפונקציה <math> \ f(x)=x </math> מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלמשל <math> \ f(0) \ne f(1) </math>.
 
הפונקציה הריקה, כלומר הפונקציה שהתחום שלה הוא [[הקבוצה הריקה]], היא פונקציה קבועה, [[באופן ריק]], משום שאין x, y המקיימים <math> \ f(x) \ne f(y) </math>. יש שמגדירים פונקציה קבועה ככזו שהתחום שלה אינו ריק.
 
==תכונות==
שורה 10:
**הדרישה שהקבוצה תהיה קשירה הכרחית: הנגזרת של הפונקציה <math>[x]</math> ([[הערך השלם]]) מתאפסת בקבוצה <math>(0,1)\cup (1,2)</math> אבל הפונקציה אינה קבועה בקבוצה.
**לא מספיק לדרוש שהתאפסות הנגזרת תהיה [[כמעט בכל מקום]] כפי שמדגימות [[פונקציה סינגולרית|פונקציות סינגולריות]].
* באופן כללי יותר, פונקציה של הרבהבכמה משתנים, כלומר פונקציה מ[[קבוצה פתוחה]] ו[[קשירות (טופולוגיה)|קשירה]] [[המרחב האוקלידי|במרחב האוקלידי]] ה-n ממדי, <math> \ \mathbb{R}^n </math> , לממשיים היא קבועה אם ורק אם ה[[גרדיאנט]] שלה מתאפס בכל התחום.
* ה[[גרף פונקציה|גרף של פונקציה]] קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה- x.
* בכל [[מרחב טופולוגי]] הפונקציות הקבועות הן [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]].
* ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>L</math> של פונקציות מעל חוג <math>R</math> הכולל את הפונקציות הקבועות, ניתן [[שיכון (מתמטיקה)|לשכן]] את החוג <math>R</math> כאוסף הפונקציות הקבועות ב-<math>L</math> (לכל <math>r \in R</math> מותאמת הפונקציה הקבועה <math>f(x) =\equiv r</math>). באותה צורה ניתן לשכן חוג בחוג ה[[פולינום|פולינומים]] מעליו.
 
==פונקציה קבועה מקומית==
==הגדרות קשורות==
במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת '''קבועה באופן מקומי''' אם לכל נקודה קיימת [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שבה הפונקציה קבועה. פונקציות כאלו הן תמיד רציפות. אם המרחב [[מרחב קשיר|קשיר]] אז פונקציה קבועה באופן מקומי היא קבועה. עובדה זו פשוטה להוכחה ישירות מן ההגדרה. נניח <math>X</math> מרחב קשיר. נבחר <math>a \in X</math>. מהקביעות באופן מקומי נובע ש-<math>\{x\in X : f(x)=f(a) \}</math> ו-<math>\{x \in X : f(x) \ne f(a)\}</math> הן קבוצות [[קבוצה פתוחה|פתוחות]] ו[[קבוצות זרות|זרות]] שאיחודן הוא <math>X</math>. הקבוצה הראשונה אינה ריקה (a איבר שלה) ולכן מהקשירות נובע שהקבוצה השנייה ריקה. כלומר <math>f(x) = f(a)</math> לכל <math>x \in X</math>.
 
במרחבים לא קשירים יש פונקציות קבועות מקומית שאינן קבועות. למשל הפונקציה <math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x<\sqrt2 \\
0 & \mbox{if } x>\sqrt2\end{matrix}\right.
 
</math> קבועה באופן מקומי במרחב ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] <math>\mathbb Q</math>.
 
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות|קבועה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/פונקציה_קבועה"