6,527
עריכות
דעיכה מעריכית – הבדלי גרסאות
תוספת פתיחה מסודרת, עריכת כותרות
מ (דניאל ב. העביר את הדף דעיכה אקספוננציאלית לדעיכה מעריכית: עברית) |
(תוספת פתיחה מסודרת, עריכת כותרות) |
||
|
[[Image:Plot-exponential-decay.svg|thumb|400px|ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]]▼
▲ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]]
'''דעיכה מעריכית''' היא תכונה של [[פונקציה]] שבה ערך הפונקציה יורד באופן [[מעריך|מעריכי]] כתלות במשתנה הבלתי תלוי, כלומר במרווח קבוע ערך הפונקציה יורד פי ערך קבוע.
קצב השינוי של ערך ה'''דועך מעריכית''' עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,▼
בכיתוב מתמטי פונציה דועכת מעריכית נכתבת בצורה הכללית:
:<math>\frac{d}{dt}A(t) = -\lambda A(t)</math>▼
:<math>Y(x) = Y(0) a^{-x}</math>
או עם הלוגריתם הטבעי:
:<math>Y(x) = Y(0) e^{-\lambda x}</math>
כמו גם בצורות אחרות, אשר נוחות בתחומים מסוימים.
==פיתוח ממשוואה דיפרנציאלית==
▲:<math>\frac{d}{dt}A(t) = -\lambda A(t)</math>
עבור הערך <math>A(t)</math> תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי <math>\lambda</math>. פתרון משוואה זו על ידי [[הפרדת משתנים]] נותן
:<math>A(t) = A(0) e^{-\lambda t}</math>.
כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה ב[[התפלגות פואסונית]]), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי
:<math>P(t) = \lambda e^{-\lambda t}</math>
זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי
:<math> \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot P(t)dt = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \equiv \tau</math>,
כאן נעשה שימוש ב[[אינטגרציה בחלקים]], זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב<math>\tau</math>. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך
:<math>A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}</math>.
לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל<math>e^{-1}</math> מערכו ההתחלתי.
כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של <math>\tau</math>, במישור התדר מתקבל [[התפלגות קושי|לורנציין]] עם רוחב של <math>\frac{1}{\tau}</math>.
לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי
:<math>t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>.▼
▲<math>t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>.
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
| |||