דעיכה מעריכית – הבדלי גרסאות

נוספו 608 בתים ,  לפני 9 שנים
תוספת פתיחה מסודרת, עריכת כותרות
מ (דניאל ב. העביר את הדף דעיכה אקספוננציאלית לדעיכה מעריכית: עברית)
(תוספת פתיחה מסודרת, עריכת כותרות)
[[Image:Plot-exponential-decay.svg|thumb|400px|ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]]
[[Image:Plot-exponential-decay.svg|thumb|400px|
ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.]]
 
'''דעיכה מעריכית''' היא תכונה של [[פונקציה]] שבה ערך הפונקציה יורד באופן [[מעריך|מעריכי]] כתלות במשתנה הבלתי תלוי, כלומר במרווח קבוע ערך הפונקציה יורד פי ערך קבוע.
קצב השינוי של ערך ה'''דועך מעריכית''' עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,
 
בכיתוב מתמטי פונציה דועכת מעריכית נכתבת בצורה הכללית:
:<math>\frac{d}{dt}A(t) = -\lambda A(t)</math>
:<math>Y(x) = Y(0) a^{-x}</math>
או עם הלוגריתם הטבעי:
:<math>Y(x) = Y(0) e^{-\lambda x}</math>
כמו גם בצורות אחרות, אשר נוחות בתחומים מסוימים.
 
==פיתוח ממשוואה דיפרנציאלית==
קצב השינוי של ערך ה'''דועך מעריכית''' עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,
:<math>\frac{d}{dt}A(t) = -\lambda A(t)</math>
עבור הערך <math>A(t)</math> תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי <math>\lambda</math>. פתרון משוואה זו על ידי [[הפרדת משתנים]] נותן
 
:<math>A(t) = A(0) e^{-\lambda t}</math>.
 
==== דעיכת אוכלוסייה ====
כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה ב[[התפלגות פואסונית]]), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי
 
:<math>P(t) = \lambda e^{-\lambda t}</math>
 
===== זמן אופייני =====
זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי
 
:<math> \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot P(t)dt = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \equiv \tau</math>,
 
כאן נעשה שימוש ב[[אינטגרציה בחלקים]], זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב<math>\tau</math>. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך
 
:<math>A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}</math>.
 
לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל<math>e^{-1}</math> מערכו ההתחלתי.
 
כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של <math>\tau</math>, במישור התדר מתקבל [[התפלגות קושי|לורנציין]] עם רוחב של <math>\frac{1}{\tau}</math>.
 
===== [[זמן מחצית חיים]] =====
לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי
:<math>t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>.
 
<math>t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2</math>.
 
 
 
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]