כפייה (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
ב[[לוגיקה מתמטית]], '''כפייה''' היא טכניקה רבת עוצמה, המאפשרת לבנות [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודלים]] של [[תורת הקבוצות]] שבהם מתקיימות [[טענה|טענות]]
== הקדמה ==
הבעיות המרכזיות של תורת הקבוצות עוסקות בטענות (על תכונות של [[מספר סודר|סודרים]] או
ל[[אקסיומות צרמלו-פרנקל]] (מערכת האקסיומות המקובלת בתורת הקבוצות) יש אופי בנייתי: הן קובעות שבתנאים מסוימים, קיימת קבוצה נתונה. מטבעה, בנייה כזו חלה על אוסף קבוצות נתון, ומרחיבה אותו בהדרגה. ב[[1935]] בחן [[קורט גדל|גדל]] את האוסף הקטן ביותר המקיים את ZF, וקרא לו [[L (תורת הקבוצות)|L]]: אלו הקבוצות שאפשר לבנות במפורש באמצעות האקסיומות, ב[[אינדוקציה טרנספיניטית|אינדוקציה]] על פני הסודרים. גדל הראה שבאוסף הזה [[אקסיומת הבחירה]] ו[[השערת הרצף המוכללת]] מתקיימות (ומכאן שהן עקביות במסגרת ZF).
באופן פורמלי, הבנייה של גדל מתחילה ממודל כלשהו של תורת הקבוצות (ללא דרישת אקסיומת הבחירה) M, ומגדירה בתוכו את ה[[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] L של כל הקבוצות הניתנות לבנייה. כעת ניתן להראות שכל האקסיומות של ZFC מתקיימות ב-L ובנוסף מתקיימות בו [[השערת הרצף|השערת הרצף המוכללת]] וטענות קומבינטוריות חזקות נוספות, מה שמוכיח את עקביותן. שיטה זו של לקיחת [[מודל פנימי|מודלים פנימיים]] של מודל נתון (כלומר הצטמצמות למחלקה של קבוצות בתוך המודל) תשמש בהמשך לבניות של מודלים נוספים, ובין השאר מודלים שלא מקיימים את אקסיומת הבחירה, אך ללא צעד נוסף לא נוכל להשתמש בה כיוון שקיום המחלקה L מוכיח את העקביות של [[אקסיומת הבנייה]] (V=L) ואם נבצע את הבנייה של L בתוך L נקבל את כל L בחזרה. לכן על ידי לקיחת מודלים פנימיים בלבד לא ניתן להוכיח אפילו את עקביות הטענה <math>V \neq L</math> במסגרת ZFC. כדי להוכיח טענות נוספות
הרעיון המרכזי בשיטת הכפייה הוא לצאת ממודל נתון של תורת הקבוצות, נאמר M, ולהרחיב אותו באמצעות הוספת '''קבוצה גנרית''' G; המודל המתקבל, <math>\ M[G]</math>, הוא האוסף הקטן ביותר של קבוצות הכולל את M ואת הקבוצה החדשה G, ומקיים את אקסיומות ZFC - אלו הקבוצות שאפשר לבנות מתוך איברי M והקבוצה G. לא ניתן להוסיף קבוצה שרירותית G כיוון שאז ייתכן
נעיר כי באמצעות שיטות סטנדרטיות של [[תורת המודלים]] היה ידוע כבר לפני העבודה של כהן איך להרחיב מודלים נתונים של תורת הקבוצות, אך לא היה ברור איך לשלוט בתכונות של המודל המתקבל. למשל, חלק מהשיטות יספקו מודלים בהם יש סודרים אחרים. יתרון משמעותי של שיטת הכפייה הוא שהיא משמרת את הסודרים של המודל המקורי.
שורה 72:
הבחירה המקובלת, שמשמעות היחס p < q היא "q חלש יותר מ-p" (עבור זוג תנאים במושג הכפייה), נובעת מכיוון הסימון המקובל באלגבראות בוליאניות - שם ככל שתנאי גדול יותר הוא מוסר פחות אינפורמציה על על-המסנן אליו הוא שייך. [[שהרן שלח]] נוהג לסמן את כיוון יחס הסדר של הכפייה באופן הפוך, כלומר במאמריו, משמעות הביטוי p < q היא "q חזק יותר מ-p". מנהג זה התקבל בקרב מספר [[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] [[ישראל|ישראלים]] נוספים, בעקבות העבודות של שלח.
== פורמליזם ==
לפי [[משפטי האי שלמות של גדל|משפט האי שלמות השני של גדל]], לא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מודל המקיים את כל האקסיומות של ZFC ובפרט לא ניתן לבנות את מודל הבסיס - המודל הבן-מנייה שמקיים את ZFC.
ניתן להתגבר על הבעיה הזו באמצעות [[עקרון ההשתקפות (תורת הקבוצות)|עקרון ההשתקפות]] - לכל קבוצה סופית של אקסיומות, ניתן להוכיח ב-ZFC כי קיים סודר <math>\alpha</math> כך שהאוסף <math>V_{\alpha}</math> (שהוא אוסף כל הקבוצות מדרגה שחסומה על ידי <math>\alpha</math>), הוא מודל של אותן אקסיומות, ובפרט ניתן לקחת תת-מודל אלמנטרי בן מנייה של <math>V_{\alpha}</math>.
כעת, אם טענה מסויימת עומדת בסתירה ל-ZFC, אז היא עומדת בסתירה גם לאיזו תת-קבוצה סופית של אקסיומות של ZFC, A‏. כאשר הוכחנו שבמודל לאחר הוספת מסנן גנרי מתקיימות כל האקסיומות של A, השתמשנו בכך שמודל הבסיס קיים קבוצה סופית כלשהי של אקסיומות, B. כיוון שניתן להוכיח עבור תת-הקבוצה B כי יש לה מודל בן מנייה, אם נפעיל את שיטת הכפייה על המודל הזה נקבל מודל שמקיים גם את הטענה אותה כפינו וגם את האוסף A, ולכן לא ייתכן שהיתה סתירה מלכתחילה.
== ראו גם ==
| |||