סדרה מדויקת – הבדלי גרסאות

מתכונות אלה נובע שסדרה מדויקת מהצורה <math>\,0 \rightarrow G \rightarrow 0</math> משמעה ש-G=0. באותו אופן, סדרה מדויקת מהצורה <math>\,0 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow 0</math> שקולה לכך שהחץ האמצעי הוא איזומורפיזם. הסדרות הקצרות ביותר המספקות מידע לא טריוויאלי הן, אם כך, סדרות מהצורה
: <math>\,0 \rightarrowlongrightarrow H \rightarrowstackrel{i}{\longrightarrow} G \rightarrowstackrel{p}{\longrightarrow} N \rightarrowlongrightarrow 0</math>.
סדרה כזו, הקרויה '''סדרה מדויקת קצרה''', כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G ל-על N, שהגרעיןשה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] שלה הוא H. לפי [[משפט האיזומורפיזם הראשון]], אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח <math>\,G/H \cong N</math>. נציין גם ש-N איזומורפי ל[[קו-גרעין (מתמטיקה)|קו-גרעין]] של <math>i : H \hookrightarrow G</math>, שהוא <math>\mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i)</math>.