לוגיקה מתמטית – הבדלי גרסאות

הוסרו 951 בתים ,  לפני 8 שנים
הרחבה - הוסרה דוגמה אחת והוספו קישורים לערכים בהם הדוגמאות מפורטות יותר
(עריכה, הרחבה)
(הרחבה - הוסרה דוגמה אחת והוספו קישורים לערכים בהם הדוגמאות מפורטות יותר)
לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של ה[[לוגיקה]] שניתן ליצור להם [[מודל מתמטי]]. בעבר נקרא התחום גם בשמות '''לוגיקה סימבולית''' (בשל עיסוקו בטענות המיוצגות בידי סמלים) או '''מטה-מתמטיקה'''. השם השני מתייחס כיום רק ל[[תורת ההוכחות]], אחד התחומים בלוגיקה מתמטית.
 
בכדי לנתח טענות, הלוגיקה המתמטית דורשת שאלו יעברו [[הצרנה]]: תרגום הטענות בשפה המדוברת (או בשפה המתמטית) לטענות בתחשיב [[ריגורוזי]] וחד משמעי - כלומר על פי חוקי התחביר הלוגי. כאשר טענות אטומיות מסומנות באותיות לטיניות או יווניות. שני התחשיבים הלוגיים הנפוצים הם "[[תחשיב הפסוקים]]" הבסיסי, העוסקהמביע את בקשרהקשרים בין ערכי האמת של טענות פשוטות ומורכבות, ו"[[תחשיב הפרדיקטים]]" המתקדם, המאפשר לטפל במבנה הפנימי של טענות ובקשר שהן מביעות בין אובייקטים לבין המושגים (פרדיקטים) החלים עליהם.
 
הוכחת טענות בלוגיקה מתמטית היא תהליך שבו מתחילים מאוסף של הנחות יסוד ומסיקים מהן סדרה של מסקנות עד שמגיעים לטענה המבוקשת. הסקת המסקנות מתבססת על אוסף כללי יסוד שאי אפשר להוכיח את נכונותם. כלל יסוד כזה מכונה [[אקסיומה]]. הלוגיקה המתמטית מנתחת את הטענות המוצרנות לפי ה[[אקסיומה|אקסיומות]] ו[[כלל היסק|כללי היסק]] של המערכת. ניתוח זה של הוכחות (טיעונים המורכבים ממספר טענות) הוא לא יותר מאשר טיפול פורמלי ב[[מחרוזת (תכנות)|מחרוזות]] וניתן לביצוע במלואו, ללא מעורבות אדם, על ידי [[מחשב]]. מכיוון שטענות מורכבות שמוצרנות במלואן הן בלתי קריאות בפועל למרבית בני האדם (כולל מתמטיקאים), ישנן הוכחות שרק מחשבים יכולים לבצע בפועל. ואולם, מאותה סיבה, הוכחת [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] מתמטיים רבים עדיין נעשית על ידי מתמטיקאים בשפה שהיא שילוב בין השפה היום-יומית לנוסחאות מתמטיות והצרנה לוגית חלקית.
 
בלוגיקה המתמטית ענפים שונים, שכל אחד מהם מתרכז בהיבט אחר של מושגי היסוד:
: [[תורת הקבוצות]]
: [[תורת המודלים]]
: [[תורת הרקורסיה]]
: [[תורת ההוכחות]]
 
כך לדוגמה, את הטענות "כשאני שבע אני מאושר" ו"כשאני מאושר אני פוצח בשיר" ניתן לכתוב כך:
 
# <math>A \rightarrow B</math>
# <math>B \rightarrow C</math>
 
כאשר A משמעותו "אני שבע", B משמעותו "אני מאושר" ו-C משמעותו "אני פוצח בשיר" ואילו החץ (<math>\rightarrow</math>) משמעותו היא שאמיתות הטענה בצד שמאל של החץ תגרור את אמיתות הטענה בצד ימין של החץ. כלומר, 1 פירושו "אם אני שבע אז אני מאושר" ו-2 פירושו "אם אני מאושר אז אני פוצח בשיר".
 
הלוגיקה המתמטית מעניקה כללים בעזרתם ניתן להסיק טענות חדשות מתוך טענות קיימות. לדוגמה, משני הביטויים למעלה ניתן להסיק באמצעות כלל ה[[טרנזיטיביות]] כי:
 
<math>A \rightarrow C</math>
 
ומכאן אנחנו מסיקים שהטענה "כשאני שבע אני פוצח בשיר" נכונה.
 
 
550

עריכות