בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נוספו 485 בתים ,  לפני 9 שנים
אין תקציר עריכה
כאשר n סופי אומרים של-V יש '''ממד''' n, ולפי המשפט n יחיד.
 
תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, (ובאופן דואלידומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס).
 
'''טענהלבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריות]].''' העמודות והשורות של [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> מהוות בסיס למרחב <math>\ \mathbb{F}^n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי [[נוסחת קרמר]], באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי [[משפט קרונקר-קפלי]] ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות ב[[דרגה (אלגברה לינארית)|דרגת]] מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס.
 
'''מסקנה.''' עבור מרחב וקטורי מממד סופי n, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של n וקטורים היא בסיס.
 
==דוגמה==