בסיס (אלגברה) – הבדלי גרסאות

נוספו 408 בתים ,  לפני 9 שנים
לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריות]]. העמודות והשורות של [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>\ n\times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> מהוות בסיס למרחב <math>\ \mathbb{F}^n</math> אם ורק אם ה[[דטרמיננטה]] שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי [[נוסחת קרמר]], באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי [[משפט קרונקר-קפלי]] ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות ב[[דרגה (אלגברה לינארית)|דרגת]] מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס.
 
=== בסיס סטנדרטי ===
 
ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות להם בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב וקטורי <math>\ F^n</math> כולל את '''[[וקטור יחידה|וקטורי היחידה]]''': <math>\ e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,\dots,0),\dots,e_n=(0,0,\dots,1)</math>.
<math>\קל e_1=(1,0,\dots,0),e_2=(0,1,\dots,0),\dots,e_n=(0,0,\dots,1)</math>.לראות הקבוצהכי קבוצה זו פורשת ובלתי תלויה לינארית, מכיוון שההצגה (היחידה) של כל וקטור <math>\ a=(a_1,\dots,a_n)\isin F^n</math> היא על ידי הצירוף <math>\ \sum_{i=1}^n a_ie_i=a</math>.
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות <math>\ M_n(F)</math> מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות <math>\ e_{ij}</math> עם אפס בכל רכיב, פרט ל- 1 במקום ה- (i,j). לכן ממד מרחב המטריצות <math>\ M_n(F)</math> הוא <math>m*n</math>. בגלל ה[[איזומורפיזם]] של מרחב המטריצות ומרחב ההעתקות הלינאריות, ניתן להסיק כי גם ממד של מרחב ההעתקות הלינאריות ממרחב וקטורי מממד <math>\n</math> לממד <math>\m</math> הוא <math>m*n</math>
* הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים <math>\ F_{\leq n}[x]</math> כולל את הווקטורים <math>\ \{1,x,x^2,x^3,..,x^n\}</math>.