הבדלים בין גרסאות בדף "גאומטריה אוקלידית"

עריכה
(ביטול גרסה 13666525 של 46.116.43.182 (שיחה) אין לו גם התחלה, "המישור הוא אינסופי" מכליל את שניהם)
(עריכה)
[[תמונה:Euklid2.jpg|ממוזער|אוקלידס]]
'''הגאומטריה האוקלידית''' היא התורה המתמטית של [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]], [[ישר|ישרים]] ו[[מעגל|מעגלים]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם [[אוקלידס]] בספרו [[יסודות (ספר)|יסודות]], והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, אבל רק ביוון נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.
מקורה של '''הגאומטריה האוקלידית''', המכונה גם גאומטריה פרבולית, ב[[יוון העתיקה]]. פירוש המילה "גאומטריה" ב[[יוונית]] הוא [[מדידה|למדוד]] (מטר) את ה[[אדמה]] (גאו), ומקור התואר '''אוקלידית''' הוא בשמו של ה[[מתמטיקאי]] [[אוקלידס]]. הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר מצומצם של מושגי יסוד ([[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], [[ישר]] ו[[מישור (גאומטריה)|מישור]]) ועל [[אקסיומה|אקסיומות]] העוסקות בהם. מהאקסיומות ניתן [[הוכחה|להוכיח]] [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]].
 
במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה ה[[גאומטריה]] היחידה. נסיונות להוכיח את [[אקסיומת המקבילים]] הביאו ב{{ה|מאה ה-19}} נוצרולפיתוחן של גאומטריות אחרותאלטרנטיביות, השונותשאינן מהגאומטריהמקבלות האוקלידיתאת באחתהאקסיומה מהאקסיומות שלהןהזו, ולכןוהן נדרשהקרויות הבחנה בין גאומטריה אוקלידית ל[[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא אוקלידיות]].
 
גאומטריה אוקלידית נמנית עם [[מתמטיקה#ענפי המתמטיקה|ענפי המתמטיקה]] המעטים הנלמדים ב[[בית ספר יסודי|בית הספר היסודי]] ו[[בית ספר תיכון|התיכון]]. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים [[תורת ההוראה|דידקטי]]ים, בין '''גאומטריית המישור''' (או '''הנדסת המישור'''), העוסקת בגופים [[מישור (גאומטריה)|מישור]]יים בלבד, כגון [[משולש]] ו[[מעגל]], ובין '''גאומטריית המרחב''' (או '''הנדסת המרחב'''), העוסקת בגופים [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדיים]], כגון [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]], [[קובייה]] ו[[כדור (גאומטריה)|כדור]].
 
==אקסיומות==
אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס אותהאת הגאומטריה המישורית על חמששני מושגי יסוד, ה[[אקסיומהנקודה (גאומטריה)|אקסיומותנקודה]], העוסקותה[[ישר]], בעיקרשאינם בבנייהמוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש [[אקסיומה|אקסיומות]]:
 
#אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] [[ישר]] בין שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]].
#אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
#אפשר לתאר [[מעגל]] על-פי מרכז ו[[רדיוס]].
#כל [[זווית ישרה|הזוויות הישרות]] שוות ביניהן.
#אם שני ישרים ייחתכונחתכים על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)
 
האקסיומה החמישית, המכונה "[[אקסיומת המקבילים]]", נראתה למתמטיקאים מיותרתלאורך במשךההיסטוריה מאותמובנת שניםמאליה, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם ב{{ה|מאה ה-19}} הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא אוקלידית]]. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית החדשה שנוצרה.
 
אקסיומת המקבילים שקולה גם לטענה זו:
*דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.
 
האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש ב[[מערכת האקסיומות של הילברט]] שהציע [[דויד הילברט]] בסוף המאה ה-19.
 
*פיתוח דרךגאומטריית המרחב דורש את מושג ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
==מושגי יסוד==
מושגי היסוד של הגאומטריה הם [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], [[ישר]] ו[[מישור (גאומטריה)|מישור]]. אלה מושגים שאין להם הגדרה והמשמעות שלהם מובנת בצורה [[אינטואיציה|אינטואיטיבית]] או על פי מאפייניהם.
 
דוגמאות למאפיינים:
===נקודה===
* לנקודה אין ממדים.
* נקודה מציינת מיקום במרחב.
 
===קו ישר===
* לקו ישר אין רוחב.
* על ישר יש [[אינסוף]] נקודות.
 
===מישור===
* למישור אין עובי.
* המישור הוא דו ממדי.
* המישור הוא אינסופי.
* דרך 2 ישרים נחתכים עובר מישור אחד ויחיד.
* דרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
 
==מושגים מוגדרים==
באמצעות מושגי היסוד וחמש ה[[אקסיומה|אקסיומות]] ניתן להגדיר בצורה חד משמעית כל מושג אחר בגאומטריה האוקלידית, כמו [[מלבן]], [[משולש]] או [[מעגל]].
הגאומטריה האוקלידית, כמו כל ענף ב[[מתמטיקה]], נבנית על גבי האקסיומות שלה. לכן, הגאומטריה האוקלידית היא ענף סגור שאינו נדרש לענפים אחרים כמו ה[[טריגונומטריה]]. מסיבה זו כל המשפטים וההוכחות הגאומטריות מתבססות על הגאומטריה האוקלידית ועליה בלבד.
 
==צורות גאומטריות==
[[משולש]] - [[מרובע]] - [[מצולע]] - [[מעגל]] - [[פרבולה]] - [[אליפסה]] - [[היפרבולה]] - [[חרוט]] - [[קובייה]] - [[ארבעון]] - [[איקוסהדרון]] - [[דודקהדרון]] - [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
 
==ראו גם==
* הצורות הגאומטריות: [[משולש]] - [[מרובע]] - [[מצולע]] - [[מעגל]] - [[פרבולה]] - [[אליפסה]] - [[היפרבולה]] - [[חרוט]] - [[קובייה]] - [[ארבעון]] - [[איקוסהדרון]] - [[דודקהדרון]] - [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
* [[מערכת האקסיומות של הילברט]]
* [[גאומטריה לא-אוקלידית]]