הבדלים בין גרסאות בדף "אי-שוויון קושי-שוורץ"

<br />שוויון ממש מתקיים אם ורק אם <math>\ x,y </math> תלויים לינארית.
 
אחת התוצאות החשובות של אי-שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר [[זווית]] <math>\theta</math> בין שני וקטורים <math>x,y</math> במרחב מכפלה פנימית, לפי המשוואה <math>\ \cos(\theta)=\frac{ |\langle x,y\rangle| }{\|x\|\cdot\|y\|}</math>, שהרי שבר זה מהווה [[מקדם מתאם]] בין <math>\ x</math> ל-<math>\ y</math> ולכן ערכו נע בין <math>\ -1</math> ל- <math>\ 1</math>. במקרה של [[מכפלה סקלרית|המכפלה הפנימית הסטנדרטית]] במישור האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^2</math> או במרחב התלת-ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.
 
בין המקרים הפרטיים של אי-השוויון, ניתן למצוא את הטענות
: <math>\ \left(\sum_{k=1}^{n}x_ky_kx_k y_k\right)^2\leq \sum_{k=1}^{n}x_k^2\cdot \sum_{k=1}^{n}y_k^2</math>
ו-
: <math>\ \left|\int{f(x)\overline{g(x)}\,\mathrm dx}\right|^2 \leq \int{|f(x)|^2\,\mathrm dx}\cdot \int{|g(x)|^2\,\mathrm dx}</math>
המתקבלות מן המקרים <math>\ V=\mathbb{R}^n</math> ו- <math>\ V=L^2(X)</math> (המרחב [[מרחב_הילברט#המרחב L2|L2]]) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.
 
==הוכחת אי-השוויון==