הבדלים בין גרסאות בדף "הסדרה ההרמונית"

מ
אין תקציר עריכה
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: ar:متسلسلة متناسقة)
מ
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''הסדרה ההרמונית''' היא ה[[סדרה]] <math>\ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , \dots , \frac{1}{n}, \dots</math> . הסדרה קרויה כך כיוון שאורכי ה[[מיתר (כלי מיתר)|מיתרים]] ש[[צליל עילי|הצלילים העיליים]] מרעידים [[פרופורציה|פרופורציונליים]] לסדרה אחת, חצי, שליש וכו'וכו׳.<br>
 
==הטור ההרמוני==
 
ה[[טור אינסופי|טור האינסופי]] <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> מכונה '''הטור ההרמוני''' והוא מתבדר (כלומר הוא אינו [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנס]] למספר סופי).
 
הטור ההרמוני הוא אחד הטורים הפשוטים שהאיבר הכללי שלהם מתכנס לאפס (כי ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של הסדרה ההרמונית הוא אפס), ובכל זאת סכום הטור מתבדר. יתר על כן -, הטור ההרמוני מהווה מעין חסם:
*לכל <math>\ p>1</math> הטור האינסופי <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}</math> מתכנס, וערכו ניתן על ידי [[פונקציית זטא של רימן]] <math>\zeta(p)</math>.
*לכל <math>0 \le p \le 1</math> הטור האינסופי <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}</math> מתבדר.
 
הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני נקראים '''מספרים הרמוניים''' ומסומנים <math>\ H_n</math>, כלומר <math>\ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>. המספרים ההרמוניים הם [[מספר רציונלי|רציונליים]] אך לא [[מספר שלם|שלמים]] (למעט <math>\ H_1</math>), ואף ההפרש בין כל שני מספרים הרמוניים שונים הוא לא שלם.
 
סדרת המספרים ההרמוניים <math>\ \left\{ H_n \right\}_{n=1}^\infty </math> שואפת ל[[אינסוף]] אך לאט מאוד לאט - בקצב של [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]]. ליתר דיוקלמעשה, [[לאונרד אוילר]] הוכיח שהסדרה <math>\ H_n - \ln (n) </math> מתכנסת, וגבולה מכונה על שמו [[קבוע אוילר]].
 
==התבדרות הטור ההרמוני==
 
העובדה שהטור ההרמוני מתבדר מפתיעה אינטואיטיבית, משום שגבול הטור באינסוף הוא 0 ולכן ניתן היה לצפות שנוכל להזניח את האיברים הרחוקים. כך לדוגמה, סכום הטור עובר את 10 רק באיבר ה-12ה־12,367 שלו, ואת 11 באיבר ה-33ה־33,617. ניתן להוכיח את התבדרות הטור בעשרות דרכים.
 
===דמיון הטור ללוגריתם הטבעי===
 
על פי [[אינטגרל#הגדרה באמצעות סכומי דארבו|סכומי דארבו]] של [[אינטגרל רימן]], הסכום <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> חוסם את האינטגרל המסוים <math>\int_1^n \frac{\mathrm dt}{t}</math> מלמעלה, כלומר לכל <math>\ n</math> טבעי:
<div style="text-align:center;">
<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\ge\int_1int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n)</math>
</centerdiv>
היות שפונקציית [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]] [[שאיפה לאינסוף|שואפת לאינסוף]] כאשר המשתנה שלה שואף לאינסוף, הסדרה הימנית שגדולה ממנה שואפת לאינסוף גם כן ולכן הטור עצמו מתבדר.
 
למעשה, קיים גם אי שוויון הפוך - גם פונקציית הלוגריתם חוסמת את הטור מלמעלה. אם נתייחס אל הטור (חוץ מהאיבר הראשון) כסכום דארבו התחתון של האינטגרל המסוים <math>\int_1int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n)</math> נקבל את ה[[אי-שוויון]] הבא:
<div style="text-align:center;">
<math>\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\le\int_1int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n)</math>
</centerdiv>
או בניסוח שקול: לכל <math>\ n</math>, מתקיים האי-שוויון <math>\ 0\le H_n-\ln(n)\le 1</math>.
 
זהו מקרה פרטי של [[מבחני התכנסות לטורים|מבחן לבדיקת התכנסות של טורים]] באמצעות התכנסות [[אינטגרל|אינטגרלים]] ולהפך. אם <math>\ f</math> [[פונקציה]] מונוטונית יורדת אז הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> מתכנס אם ורק אם ה[[אינטגרל לא אמיתי|אינטגרל הלא אמיתי]] <math>\int_1int\limits_1^\infty f(t)\,\mathrm dt</math> מתכנס.
 
===[[מבחני התכנסות לטורים#מבחן הדילול|מבחן הדילול]]===
 
ניתן לסכם את הטור בצורה שתראה את ההתבדרות שלו בדרך יותר ברורה: נקבץ יחד את כל האיברים בין שתי חזקות של 2 ונסכם אותם יחד. לדוגמה, נסכם את <math>\frac{1}{2}</math> לבד, ואתאת <math>\frac{1}{3}</math> ואת <math>\frac{1}{4}</math> ביחד, ואתאת <math>\frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}</math> עד <math>\frac{1}{8}</math> וכן הלאה. בכל אחד מסכומי הביניים האלו כל האיברים גדולים מהאיבר האחרון, שהוא בעצמו חזקה שלילית של 2. בנוסף, בסכום הביניים שבו האיבר האחרון הוא <math>\ 2^{-k}</math>, יהיו בדיוק <math>\ 2^{k-1}</math> איברים, ולכן ערך כל סכום ביניים כזה גדול מחצי. בנוסחה מפורשת, ניתן לבטא את סכומי הביניים האלו בנוסחה מפורשת בעזרת [[ערך שלם|הערך השלם]] של ה[[לוגריתם]] עם בסיס 2:
<div style="text-align:center; direction:ltr;">
<center>
<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty 2^{-\log_2 k} \ge\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! \ =
1 + \left[(\frac{1}{2}\right]) + \left[(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right])
+ \left[(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right]) + \frac{1}{16}+\cdots </math>
\quad\<math> = 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots </math> <br>
<math> \qquad \qquad =
</div>
\quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots </math> <br>
זהו סכום אינסופי של מספר חיובי (חצי<math>1/2</math>)- ולכן הוא מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור (הואהסכום גדולהחלקי מהפונקציה<math>H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}</math> גדול מ־<math>\ 1+\frac{[\lfloor \log_2 n ]\rfloor}{2} </math>.).
</center>
זהו סכום אינסופי של מספר חיובי (חצי)- ולכן מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור (הוא גדול מהפונקציה <math>\ 1+\frac{[ \log_2 n ]}{2} </math>.)
 
==טורים דומים==
 
טור חשוב שמתקשר לטור ההרמוני הוא '''הטור ההרמוני המתחלף''' (טור לייבניץ), שהוא טור הרמוני עם סימנים מתחלפים:
<div style="text-align:center;">
<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots</math>
</centerdiv>
טור זה מתכנס וערכו הוא <math>\ \ln 2</math> (הדבר נובע מהצבת <math>\ x=1</math> ב[[טור טיילור]] של הפונקציה <math>\ \ln(1+x)</math>). זוהי דוגמה ל[[מבחני התכנסות לטורים#מבחן לייבניץ|מבחן לייבניץ להתכנסות טורים]] הקובע כי טור מתחלף המורכב מסדרה מונוטונית יורדת, ושהאיברשהאיבר הכללי שלו שואף לאפס - מתכנס. הטור הוא דוגמה סטנדרטית ל[[משפט רימן (תורת הטורים)|משפט רימן]], שכן שינוי סדר איבריו משנה את הסכום.
 
טור נוסף שמתקשר לטור ההרמוני הוא [[טור ההפכיים של המספרים הראשוניים]], שגם הוא טור מתבדר:{{הערה|דברעובדה זהזו מהווה הוכחה נוספת לכך שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ראו: [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים#הוכחתם של אוילר וקרונקר]].}}
<div style="text-align:center;">
<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{p_k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5} +\dots</math> כאשר <math>\ p_k</math> הוא הראשוני ה-ה־<math>\ k</math>־י.
</centerdiv>
 
אם נשמיט מן הטור ההרמוני את כל האיברים המכילים את הספרה 9, נקבל טור מתכנס וסכומו הוא <math>\, 22.92067...\dots</math>. טורהטור נחקר לראשונה על ידי A.J. Kempner בשנת 1914. קמפנר הוכיח, כי בניגוד לאינטואיציה, הטור הזה מתכנס, וסכומו הוא פחות מ-80מ־80. מאוחר יותר חושב במדויק סכום הטור.{{הערה|{{JSTOR|Kempner, A. J.|A Curious Convergent Series|2972074|American Mathematical Monthly|21 (2), February 1914|pp 48–50}}|שם=LTR-Kempner}}
 
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
 
[[קטגוריה:תורת המספרים]]