ממוצע אריתמטי-גאומטרי – הבדלי גרסאות

אם <math>\ a, b</math> הם מספרים (ממשיים) חיוביים, '''הממוצע האריתמטי-גאומטרי''' שלהם הוא ה[[גבול של סדרה|גבול]] המשותף של הסדרות <math>\ a_n, b_n</math>, המוגדרות ב[[הגדרה רקורסיבית|רקורסיה]] על-פי הנוסחאות:

* <math>\ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}</math> (כל איבר בסדרה זו הוא [[ממוצע אריתמטי]] של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

 

* <math>\ b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math> (כל איבר בסדרה זו הוא [[ממוצע גאומטרי]] של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת),

==תכונות==

קל להוכיח ש- <math>\ b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n</math> לכל <math>\ n>0</math>, ואם <math>\ b<a</math>, הממוצע מקיים <math>\ b<M(a,b)<a</math>.

 

לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה <math>\ M</math> [[פונקציה הומוגנית|הומוגנית]] מסדר 1 (כלומר, <math>\ M(\lambda a,\lambda b) = \lambda M(a,b)</math>; לכן, אם מגדירים <math>\ f(x) = M(1,x)</math>, אפשר לשחזר את <math>\ M</math> לפי הזהות <math>\ M(a,b)=a\cdot f(b/a)</math>. בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי <math>\ M(a,b) = M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab})</math>; במלים אחרות, <math>\ f(x) = \frac{1+x}{2} \cdot f(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})</math>.

 

ב-[[30 במאי]] [[1799]] הבחין גאוס שהערכים <math>\ \frac{1}{M(1,\sqrt{2})}</math> ו- <math>\ \frac{2}{\pi}\int_0^1{\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}}</math> מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "ה[[קבוע גאוס|קבוע של גאוס]]"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של [[המאה ה-19]]. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית,

[[קטגוריה:ממוצעים]]

[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]