הבדלים בין גרסאות בדף "תנאי שפה"

נוספו 1,249 בתים ,  לפני 14 שנים
שוכתב
({{לשכתב|סיבה=הערך מתחיל מהאמצע}})
(שוכתב)
'''תנאי שפה''' הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של [[משוואה דיפרנציאלית]] (רגילה או [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|חלקית]]) לפתרון מסוים. התנאים הם ערכי [[פונקציה|פונקציות]] וה[[נגזרת|נגזרות]] השונות שלהן, בנקודות מסוימות בזמן ובמרחב. אוסף הנקודות האלה הוא ה'''שפה'''. כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוג של בעיה פיזיקלית כלשהי, תנאי השפה הם חלק מהותי מהבעיה וידיעתם חיונית לפתרון. דוגמה לבעיה כזו היא חישוב [[פוטנציאל חשמלי]], [[משוואת הגלים]], ועוד. ללא תנאי השפה ניתן להגיע לפתרון כללי בלבד (כאלה יש [[אינסוף]]), אולם לא לפתרון ספציפי לבעייה. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע <math>\ t=0</math>, קוראים לתנאים '''תנאי התחלה'''.
{{לשכתב|סיבה=הערך מתחיל מהאמצע}}
תנאי שפה הם תנאים נלווים לבעייה שמיוצגת ע"י משוואה דיפרנציאלית,המאפשרים לנו לדעת פתרונה המדוייק .דוגמא לבעייה כזו היא חישוב פוטנציאל חשמלי,משוואת הגלים, וכו'. ללא תנאי השפה נוכל להגיע לפתרון כללי בלבד,אולם לא לפתרון ספציפי.
 
תנאי השפה מתחלקים לשני סוגים עיקריים:
#תנאי [[דיריכלה]] - כאשר נתון ערכה של הפונקצייה על השפה
#תנאי [[ניומן]] - כאשר נתון ערכה של נגזרת הפונקצייה על השפה
 
דוגמה חשובה לבעייה עם תנאי שפה היא משוואת הגלים. בשלושה מימדים המשוואה הדיפרנציאלית היא:
משמעות תנאי השפה היא מהי ערכה של הפונקצייה אותה אנו מנסים למצוא,על שפת התחום.
 
<math>\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) - c^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})=0 </math>
דוגמאות לבעייה עם תנאי התחלה:
משוואת הגלים התלת מימדית:
<math>\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) - c^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})=0 </math>
 
פתרונה הכללי של משוואה זו הוא [[גל]] כלשהו, אך כדי לדעת אם זהו, למשל, גל מישורי או כדורי, נדרשת ידיעת תנאי השפה. נתונים אלה יכתיבו את הפתרון המסוים לבעיה הנתונה.
דוגמא נוספת היא משוואת הגלים החד מימדית:
: <math>\ u_{tt}-c^2 u_{xx}=G(x)</math>
 
דוגמה פשוטה יותר היא משוואת הגלים החד מימדית המייצגת הפרעה המתקדמת במיתר: <math>\ u_{tt}-c^2 u_{xx}=G(x)</math>
ללא תנאי התחלה,נוכל לקבל פתרון כללי בלבד:
 
ללא תנאי התחלה,שפה נוכל לקבל פתרון כללי בלבד:
:<math>\ \psi(x,t) = F(x-vt) + G(x+vt)</math>
 
עבורידיעת המערכת הפיזיקלית המתאימה מאפשרת לקבוע את תנאי השפה המתאימים: למשל, אם המיתר אחוז בשני קצותיו, הכרחי שאמפליטודת ההפרעה היא תמיד אפס בשני הקצוות. זהו מקרה של '''תנאי דיריכלה הומוגני''' (הפונקצייה מתאפסת על שפת התחום) נוכל לקבל פתרון מהצורה:
: <math>\ \psi_k(x,t) = a_k e^{i(\omega t - k x)} + b_k e^{i(\omega t + k x)}</math>
 
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]
[[en:boundary condition]]
81,966

עריכות