טופולוגיית זריצקי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Legobot (שיחה | תרומות)
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q147978
עריכה
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''טופולוגיית זריצקי''' היא [[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]] המוגדרת על המרחבה[[מרחב אפיני|מרחב האפיני]], כך ש[[יריעה אלגברית|היריעות האלגבריות]] הן [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]. הכלים ה[[טופולוגיה|טופולוגיים]] שטופולוגיית זריצקי מזריקה לחקר הפולינומיםה[[פולינום|פולינומים]], הופכת אותה לטופולוגיה הסטנדרטית ב[[גאומטריה אלגברית]] ובתחומים הנושקים לה, כמו [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]].
 
== הגדרה ותכונות יסודיות ==
 
טופולוגיית זריצקי מוגדרת על מרחב אפיני מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי <math>\ V = F^n</math>, כאשר F [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו. יריעות האפסים <math>\ \{x \in V : f(x)=0\}</math> עבור הפולינומים <math>\ f \in F[x_1,\dots,x_n]</math> מהוות [[בסיס לטופולוגיה|בסיס של קבוצות סגורות]] לטופולוגיה; לחלופין, הקבוצות <math>\ U_f = \{x \in V : f(x)\neq 0\}</math> מהוות בסיס לטופולוגיה (וזהו אכן בסיס, משום ש- <math>\ U_f \cap U_g = U_{fg}</math>). מכיוון שחוגש[[חוג (מבנה אלגברי)#חוג הפולינומים|חוג הפולינומים]] [[חוג נותרי|נותרי]], הקבוצות הסגורות הן קבוצות מהצורה <math>\ \{x : f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_m(x)=0\}</math> עבור מספר סופי של פולינומים <math>\ f_1,\cdots,f_m</math>. מסיבה זו, כל קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי היא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]].
 
טופולוגיית זריצקי היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל הפונקציות הפולינומיות <math>\ f : F^n \rightarrow F</math> הן [[רציפות]], ביחס ל[[הטופולוגיה הקו-סופית|טופולוגיה הקו-סופית]] על F. אכן, הטופולוגיה הקו-סופית היא טופולוגיית זריצקי של F עצמו.
 
טופולוגיית זריצקי של [[מרחב מכפלה]] <math>\ V_1 \times V_2</math> היא [[טופולוגיית מכפלה|טופולוגיית המכפלה]] של שני המרחבים. תכונה זו מאפשרת להכליל את האמור לעיל - כל העתקה פולינומית בין מרחבים וקטוריים היא רציפה בטופולוגיית זריצקי.
 
== תכונות ==
 
תהי <math>A = k[x_1,...,x_n]</math> [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] ה[[פולינום|פולינומים]] מעל [[שדה סגור אלגברית]] k, ויהי <math>I \subset k[x_1,...,k_n]</math> [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] כלשהו. נגדיר
: <math>\mathcal{V}(I) = \left\{ x \in k^n | \forall f \in I : f(x) = 0 \right\}</math>
אזי:
# <math>\mathcal{V}(0) = k^n \ , \ \mathcal{V}(A) = \emptyset</math>.
# כל הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> הן [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] בטופולוגיית זריצקי.
# "הופך סדר [[תת-קבוצה|הכלה]]": <math>I_2 \subset I_1 \Rightarrow \mathcal{V}(I_2) \supset \mathcal{V}(I_1)</math>.
# <math>\mathcal{V}(I_1 I_2) = \mathcal{V}(I_1 \cap I_2) = \mathcal{V}(I_1) \cup \mathcal{V}(I_2)</math>.
# <math>\mathcal{V}\left( \sum_{\lambda} I_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda} \mathcal{V}(I_\lambda)</math>.
שורה 44:
באמעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k-אלגברה A טופולוגיית זריצקי לא רק על <math>\mathrm{Max}(A)</math> אלא גם על <math>\mathrm{Spec}(A)</math> - [[ספקטרום של חוג|אוסף האידאליים הראשוניים]] של A. ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה:
: יהי <math>I</math> אידאל ב-A, אזי [[אידאל ראשוני]] P שייך ל-<math>\mathcal{V}(I)</math> אם ורק אם <math>I \subset P</math>,
ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה <math>\mathcal{V}(I)</math> להיות [[קבוצה סגורה|הקבוצות הסגורות]] ב-<math>\mathrm{Spec}(A)</math>. הכללה זו מובילה למושג ה[[סכמה (מתמטיקה)|סכמה]].
 
== ראו גם ==