מספר משולשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←תכונות |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
ב[[תורת המספרים]], [[מספר טבעי]] <math>\ T</math> נקרא '''מספר משולשי''' אם אפשר לסדר <math>\ T</math> עצמים בצורת [[משולש שווה-צלעות]]. המספרים המשולשיים הראשונים הם [[1 (מספר)|1]], [[3 (מספר)|3]], [[6 (מספר)|6]], [[10 (מספר)|10]], [[15 (מספר)|15]], [[21 (מספר)|21]], [[28 (מספר)|28]], [[36 (מספר)|36]], [[45 (מספר)|45]].
המספר המשולשי ה-n-י מסומן <math>\ T_n</math>
==נוסחה מפורשת==
ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: <math>\ T_n = \frac{n(n+1)}2</math>. אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות. הנוסחה הייתה ידועה כבר ל[[פיתגורס]] ב[[המאה ה-6 לפנה"ס|מאה ה-6 לפנה"ס]].
===הוכחה באמצעות סכום סדרה חשבונית===
הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום [[סדרה חשבונית]]. <math>\ T_n</math> הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:
:<math>\ T_n = 1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}2</math>
שורה 14:
:<math>\ T_{100} = 1+2+3+\ldots+98+99+100 = \tfrac{100}{2}\cdot (100+1) = 5050</math>
הטיעון של גאוס הוא למעשה
===הוכחה באמצעות המקדם הבינומי===
נניח וישנה [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] עם n+1 [[איבר (מתמטיקה)|עצמים]]. נשאלת השאלה כמה דרכים
:<math>\ n+(n-1)+\ldots+2+1+0 = T_n</math>
| |||