משפט האינטגרל של קושי – הבדלי גרסאות

לפי הגדרת האינטגרל, אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math>, אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math>, כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן: <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>. מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>, ו-<math>\ \frac{S}{4^n}\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>. אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>.