פונקציה מרוכבת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שכתוב |
השלמת הגדרת פונקציות |
||
שורה 19:
:<math>\ cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math> <br>
עבור פונקצית ה[[לוגריתם]] יש בעיה של רב-ערכיות, כיוון ש<math>\ e^z</math> איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של <math>\ e^z</math> לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ <math>\ 2\pi</math>
ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: <math>\ z^w = e^{wln z}</math> כאשר <math>\ z,w</math> מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמא בענף הסטנדרטי (שבו <math>\ Im ln z \in [0,2\pi )</math>) מתקבל:
:<math>\ (-1)^i=e^{i ln(-1)}=e^{i \cdot i\pi}=e^{-\pi}</math>
ולעומת זאת בענף שבו <math>\ Im ln z \in [-\pi,\pi )</math> ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה:<br>
:<math>\ (-1)^i=e^{i ln(-1)}=e^{i \cdot (-i\pi)}=e^{\pi}</math> <br>
כלומר יכולים להתקבל אינסוף (בעצם [[עוצמה|אלף אפס]]) תוצאות שונות. כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה. באופן יותר כללי- אם <math>\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}</math> (כלומר הוא [[מספר רציונלי]]) ו[[שבר (מתמטיקה)|השבר מצומצם]]- מתקבלות m תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם. <br>
באותה צורה כמו שהפכנו את פונקצית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב בטור טיילור שלו) ניתן להרחיב כל פונקציה ממשית בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת.
| |||