מסילה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מסילה <math>\!\, \gamma</math> ב-<math>\!\,[[מרחב \mathbb{C}</math>טופולוגי]] כללי X היא פונקציה רציפה: מקטע (סגור או פתוח) ב-<math>\!\, \gamma:[a,b] \to \mathbb{CR}</math>, כאשרלמרחב <math>\!\,הטופולוגי [a,b]\inX. \mathbb{R}</mathbr>

מסילה <math>\!\, \gamma</math> נקראת מסילה פשוטה אם לכל <math>\!\, t_1,t_2 \in [a,b]</math> כך ש: <math>\!\, t_1 \ne t_2</math> מתקיים <math>\!\, z(t_1) \ne z(t_2)</math>, כלומר היא [[חד חד ערכית]].

מסילה <math>\!\, \gamma</math> המוגדרת בתחום <math>z \in [a,b]</math> , תקרא מסילה סגורה אם מתקיים <math>\!\, z(a)=z(b)</math>. אם המסילה היא פשוטה חוץ מבנקודות אלו כלומר <math>\gamma (t_1)=\gamma (t_2) , t_1 \ne t_2</math> רק כאשר <math>\ t_1,t_2 =a,b</math>. במקרה כזה נאמר שהמסילה היא פשוטה וסגורה.

מסילה [[שדה המספרים המרוכבים|במרוכבים]] <math>\!\, \gamma z</math>, נקראת מסילה דיפרנציאבילית אם <math>\!\, z(t)</math> גזירה ברציפות – כלומר: <math>\!\, x(t),y(t)</math> גזירות ברציפות – אנחנו דורשים גזירות ברציפות גם בקצוות המסילה.

* נאמר שהמסילה דיפרנציאבילית למקוטעין אם היא רציפה ודיפרנציאבילית, פרטופרט למספר סופי של נקודות גם דיפרנציאבילית. אפשר לחלק את <math>\!\, \gamma</math> למספר סופי של מסילות דיפרנציאביליות (זה יותר חזק מהתנאי למעלה כיוון שהוא לא אומר דבר על נקודות הקצה בעוד זה כן), ובפרט ל-<math>\!\, \gamma</math> יש נגזרת רציפה פרט למספר סופי של נקודות.

יהי <math>\!\, a \in \mathbb{C}</math> ותהי <math>\!\, \gamma</math> מסילה סגורה במרוכבים שאינה עוברת דרך <math>\!\, a</math>, רוצים להגדיר כמה פעמים <math>\!\, \gamma</math> עוברת מסביב ל-<math>\!\, a</math>.

הגדרה: <math>\!\, =n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a}\, dz</math>מספר הפעמים ש-<math>\!\, \gamma</math> עוברת מסביב ל-<math>\!\, a</math>. מספר זה הוא שלם עבור כל מסילה דיפרנציאבילית סגורה.<br>