מתמטיקה עיונית – הבדלי גרסאות

מתמטיקאים יוונים מהעת העתיקה היו מהראשונים להבחין בין מתמטיקה טהורה לשימושית. [[אפלטון]] סייע ליצור את ההבחנה בין "אריתמטי", שנקרא [[תורת המספרים]] כיום, לבין "לוגיסטי" שבימינו נודע כ[[אריתמטיקה]]. אפלטון התייחס לפן הלוגיסטי כיאה לאנשי עסקים ומלחמה אשר "חייבים ללמוד את אמנות המספרים שמא לא יידעו לארגן את חייליהם" ולפן האריתמטי (תורת המספרים) כיאה לפילוסופים "כי עליהם לעלות ממימי השינוי ולהשיג אחיזה בהוויה אמיתית"{{הערה|A History of Mathematics, Second Edition: Carl B. Boyer}}. כאשר נשאל [[אאוקלידס]] מאלכסנדריה על- ידי אחד מתלמידיו מהו השימוש ללימוד הגיאומטריההגאומטריה, ביקש הלה באירוניה מעבדו לשלם מטבע כסף לתלמיד "כי הוא חייב ליצור רווח מידיעותיו"{{הערה|A History of Mathematics, Second Edition: Carl B. Boyer}}. המתמטיקאי היווני אפולוניוס מפרגה שנשאל לגבי השימושיות של חלק מהתיאורמות בספרו הרביעי לחתכים חרוטיים הצהיר:

המונח הונצח אחת ולתמיד עם הקמת כסאכיסא הפרופסור למתמטיקה טהורה (Sadleirian Chair) שיוסד באמצע המאה ה-19. ייתכן והרעיון לדיסציפלינה נפרדת למתמטיקה טהורה עלה באותה תקופה. דורו של המתמטיקאי [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] לא עשה הבחנה בולטת בין המתמטיקה השימושית למתמטיקה טהורה. מאוחר יותר, גם התמחות ופרופסורה בענף הטהור (במיוחד לאור גישתו של [[קארל ויירשטראס]] ל[[אנליזה מתמטית]]), נתנו משנה תוקף ללגיטימיות של המתמטיקה הטהורה.

עם תחילת המאה העשרים אימצו מתמטיקאים את המתודה האקסיומטית במיוחד לאחר ניסיון האקסיומטיזציה של ה[[גאומטריה אוקלידית]] על- ידי [[דויד הילברט]]. הניסוח הלוגי של המתמטיקה הטהורה שהוצע ע"יעל ידי [[ברטראנד ראסל]] באמצעים של [[כמת|מבנה כימות]] של [[טענה|טענות לוגיות]] נראה יותר ויותר בר תוקף, שכן חלקים נרחבים של המתמטיקה יוצגו בעזרת ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|מערכת האקסיומטית]] מה שהקל את המשימה למציאת קריטריונים להוכחה [[ריגורוזיות|ריגורוזית]].

אחת התפישות המרכזיות במתמטיקה הטהורה היא רעיון הכלליות; לעיתיםלעתים יחולו מגמות הקוראות להגברת הכלליות:

* כלליות יכולה לפשט את הצגת החומר, הפשטה שתובע על- ידי הוכחות קצרות יותר או טיעונים קלים יותר למעקב

* ניתן להשתמש בכלליות על-מנת להימנע מכפל מאמצים, על- ידי הוכחת תוצאה כללית במקום להוכיח מקרים נפרדים באופן פרטני, או על- ידי שימוש בתוצאות מתחומים אחרים במתמטיקה

השפעתה של הכלליות על ה[[אינטואיציה]] תלויה הן בסובייקט והן בהעדפה אישית או סגנון הלימוד. לעיתיםלעתים, כלליות נתפשת כמכשול לאינטואיציה, על אף שהיא יכולה לשמש כעזר, במיוחד במקרים בהם היא תספק אנלוגיה לנושא אחר בו כבר פותחה אינטואיציה.

עוד דוגמאדוגמה נבחרת לכלליות ניתן למצוא בעבודתו של [[פליקס קליין]] בשם [[תוכנית ארלנגן]] בה עמל קליין על הרחבה של מושג ה[[גאומטריה]] כך שיכיל גם [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא-אוקלידיות]], את ענף ה[[טופולוגיה]], וצורות אחרות של גאומטריה על- ידי השקפה של גאומטריה כמחקר של חלל בצוותא עם [[חבורה]] של טרנספורמציות. חקר ה[[מספר|מספרים]]ים, הקרוי [[אלגברה]] בשלבי הלימודים התיכוניים, מתרחב ל[[אלגברה מופשטת]] בשלב מתקדם יותר; ו[[פונקציה|חקר הפונקציות]] הקרוי [[חשבון אינפיניטסימלי]], הופך ל[[אנליזה מתמטית]] ו[[אנליזה פונקציונלית]] בשלב מתקדם יותר. לכל אחד מהענפים האבסטרקטיים הללו ישנם תתי-תחומי התמחות כך שישנם בפועל קשרים רבים בין הדיסציפלינות הטהורה והשימושית. עלייה חדה בזרם ה[[הפשטה|אבסטרקציה]] נרשמה באמצע המאה ה-20 והיא מתבטאת במגוון תחומי חיים ולא רק במתמטיקה.

הארדי התייחס גם לפיזיקאים מסויימיםמסוימים, כגון [[אלברט איינשטיין|איינשטיין]] ו[[פול דיראק|דיראק]], כמתמטיקאים "אמיתיים", אך בזמן כתיבתו את "ההתנצלות" הוא החשיב את [[תורת היחסות הכללית]] ו[[מכניקת הקוואנטים]] כחסרי תועלת, מה שהתיר לו להמשיך להחזיק בדעה שרק מתמטיקה "בנאלית" הינה שימושית. יתר על כן, כאשר החל במפתיע יישומן של [[תורת המטריקס]] ו[[תורת הקבוצות]] לענפי פיזיקה שונים, הודה הארדי שיום יבוא בו תיתכן מתמטיקה יפה ו"אמיתית" שתוכל להיות מיושמת.

תובנה מעניינת נוספת על הנושא הוצעה ע"יעל ידי אנדי מאגיד:

"תמיד חשבתי שמודל מוצלח לאנלוגיה כאן יכול להילקח מ[[תורת החוגים]]. בנושא זה, תת-שדות [[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיבים]] (חילופיים) ולא-קומוטטביים יפורשו על- ידי צופה הדיוט כדיכוטומיה בעוד שלמעשה האחרון מכיל את הראשון: חוג לא קומוטטיבי הוא חוג-לא-בהכרח-קומוטטיבי. אם נרחיב את מוסכמה זו לנושא המתמטיקה השימושית וה"לא-שימושית", נוכל להגדיר את המתמטיקה הטהורה כ"מתמטיקה לא-בהכרח-שימושית"."

[[אנליזה]] עוסקת בתכונות הפונקציה. היא כוללת מושגים כגון [[רציפות]], [[גבול של פונקציה]], [[נגזרת]], ו[[אינטגרל|אינטגרלים]]ים, ובכך מספקת יסוד קפדני לחשבון אינפיטסימלי (נקרא גם קלקולוס או חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי) כפי שהוצג על-יד [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד לייבניץ]] במאה ה-17. [[אנליזה ממשית]] חוקרת פונקציות של מספרים ממשיים, בעוד ש[[אנליזה מרוכבת]] מרחיבה את המחקר גם לתחום ה[[מספר מרוכב|מספרים המרוכבים]]. [[אנליזה פונקציונלית]] היא ענף של האנליזה שחוקרת [[מרחבים וקטוריים ממימד אינסופי]], ושרואה בפונקציות כנקודות במרחבים הללו.

[[אלגברה מופשטת]] חוקרת [[קבוצה|קבוצות]] בצוותא עם ה[[פעולה בינארית|פעולות הבינאריות]] שהן מגדירות. קבוצות ופעולותיהן הבינאריות ניתנות לסיווג על-פי תכונותיהן: לדוגמאלדוגמה, אם מופעלת [[פעולה אסוציאטיבית]] על קבוצה שמכילה [[איבר יחידה]] ו[[איבר הופכי|איברים הופכיים]] עבור כל יחס של הקבוצה, אז הקבוצה והפעולה נחשבים להיות [[חבורה]]. מבנים נוספים כוללים [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], ו[[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]].

[[גאומטריה]] היא חקר צורות ומרחב, ובפרט חקר קבוצות של טרנספורמציות של המרחב. לדוגמאלדוגמה, [[גאומטריה פרויקטיבית]] עוסקת בטרנספורמציות [[היטל (גאומטריה)|היטליות]] שפועלות על המישור ההיטלי האמיתי בעוד ש[[אינוורסיה]] עוסקת בקבוצה של טרנספורמציות היפוכיות הפועלות על המישור המורכב. הגאומטריה התרחבה וכיום כוללת גם את ענף ה[[טופולוגיה]] אשר עוסק באובייקטים הקרויים מרחבים טופולוגיים ומפות רציפות ביניהם. עיקר עניינה של הטופולוגיה הוא באופן בו מרחבים מתחברים ומתעלמת מחישובים מדוקדקים של מרחק וזוויות.

[[תורת המספרים]] הינה התאוריה של המספרים השלמים החיוביים. היא מבוססת על רעיונות דוגמאתדוגמת [[מבחני התחלקות|התחלקות]] ו[[קונגרואנציה]] (יחס שקילות). [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] מציין שכל שלם חיובי ניתן [[פירוק לגורמים של מספר שלם|לפירוק לגורמיו הראשוניים]] ושאותה פקטוריזציה ראשונית הינה ייחודית רק לו. מבחינות מסויימותמסוימות, תורת המספרים הוא הענף הכי נגיש מבין תחומי המתמטיקה הטהורה: לדוגמאלדוגמה, [[השערת גולדבך]] ניתנת להבנה בקלות (גם אם טרם הוכחה או הופרכה). מאידך, במובנים מסויימיםמסוימים תורת המספרים היא הדיסציפלינה הכי פחות נגישה לציבור הרחב; לדוגמאלדוגמה הוכחתו של [[אנדרו וויילס]] (שאורכה כמאה עמודים) ש[[המשפט האחרון של פרמה|למשוואתו של פרמה]] אין פתרונות לא-טריוויאלים דורשת הבנה בתבניות אוטומורפיות, שעל-אף זיקתן לטבע, טרם נמצא להן יישום בפיזיקה.