משחק בצורה תכסיסית – הבדלי גרסאות

'''משחק בצורה תכסיסית''' (נקרא גם '''משחק בצורה אסטרטגית''', או '''משחק מטריצה''') הוא תיאור מקובל של משחק ב[[תורת המשחקים]], בו תוצאת המשחק מתוארת כתוצאה ישירה של בחירת [[תכסיס (בתורת המשחקים)|תכסיסים]], או אסטרטגיות, על ידי השחקנים בתחילת המשחק. צורת תיאור זו שימושית כאשר לא מתעניינים בשלבי המשחק, אלא רק בתוצאותיו, ומאפשרת מציאת [[שליטה של אסטרטגיות|תכסיסים שולטים ונשלטים]], כמו גם [[שיווי משקל נאש]], בקלות יחסית.

 

==הקדמה==

כאשר משחק מתואר ב[[משחק בצורה רחבה|צורה רחבה]], לעומת זאת, תיאור המשחק הוא כ[[עץ (תורת הגרפים)|עץ]] החלטות, בו כל צומת מייצגת תרחיש אפשרי במשחק, וכל קשת מייצגת פעולה בה יכול לנקוט שחקן באותו תרחיש.

בשל ההבדלים בין שתי צורות ההצגה, הצורה התכסיסית טבעית לתיאור משחקים בעלי שלב אחד, בו השחקנים פועלים במקביל, או ללא ידיעה מראש על פעולות האחרים.

 

==תיאור לא פורמלי==

 

ניתן לתאר משחקים מורכבים יותר בצורה תכסיסית, כגון משחקים בהם מעורב אלמנט של מזל (ובהם וקטור התשלומים מייצג את [[תוחלת]] התשלומים), או [[הרחבת העירוב של משחק|הרחבה]] המאפשרת [[תכסיס מעורב|תכסיסים מעורבים]], בהם שחקן בוחר התפלגות אשר בעזרתה ייבחר תכסיס.

 

==הגדרה פורמלית==

משחק בצורה תכסיסית מוגדר כ- <math> G = (N,(S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i\in N}) </math> כאשר

# <math>N = (1,2,\ldots,n)</math> היא קבוצת השחקנים.

# <math>u=(u_{1},u{}_{2},\ldots,u{}_{N})</math> היא קבוצת פונקציות התשלום במשחק. לכל שחקן <math>i</math> ששייך לקבוצה <math>N</math> מוגדרת [[פונקציה]] <math>u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times\ldots\times S_{N}\rightarrow\mathbb{R}</math> שמתאימה לכל בחירת תכסיסים של כל השחקנים את התשלום שמפיק השחקן ממנה.

 

המטריצה באופן פורמלי עבור משחק המוגדר <math> G = (N,(S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i\in N}) </math> תיבנה באופן הבא:

# לכל מימד i במטריצה, גודלו יוגדר להיות כמספר איברי <math>S_{i}</math>.

# עבור המטריצה שהוגדרה בגודל <math>|S_{1}|\times |S_{2}|\times\ldots\times |S_{N}|</math>, כל תא במטריצה ייצג בחירת ווקטור תכסיסים ובתוכו הערך <math>u(s_{1},s_{2},\ldots,s_{N})</math> כך ש <math>\forall i</math> מתקיים <math>s_{i} \isin S_{i}</math>, שתוצאתו היא ווקטור התשלומים לכל שחקן בהינתן בחירת תכסיס על ידי כל שחקן.

 

==דוגמה==

 

במשחק זה, בניגוד למשחק הקודם, נראה כי לחוואי ב' קיימת [[שליטה של אסטרטגיות|אסטרטגיה שלטת]], אם יחליט למרוד ולעשות ההיפך מחוואי א', בהינתן כל תכסיס של שחקן א' לא קיים תכסיס אשר יספק תשלום גדול יותר לחוואי ב'. על כן, התכסיס "למרוד" של חוואי ב' מהווה [[שליטה של אסטרטגיות|אסטרטגיה שלטת]] עבורו במשחק.

 

==שימושים==

 

בשל פשטות ההצגה של משחק בצורה תכסיסית בעזרת מטריצה, ישנם מספר מסקנות על המשחק שניתנות להסקה בקלות מהצורה התכסיסית. בין השאר:

*ניתן למצוא [[שיווי משקל נאש]] במשחק, כלומר בחירת אסטרטגיות שעבורם אף אחד מהשחקנים אינו יכול להרוויח על ידי סטייה מהאסטרטגיה שלו, על ידי מציאת תא במטריצה שהזזתו בכל מימד, כלומר שינוי תכסיס של שחקן אחד בלבד, לא תעלה את התשלום עבור השחקן המתאים לאותו מימד.

 

==המעבר בין משחק בצורה רחבה למשחק בצורה תכסיסית==

 

* משחק בצורה תכסיסית ניתן לתיאור על ידי משחק בצורה רחבה, אך לא באופן יחיד. לדוגמה, לא ניתן לדעת מתיאור המשחק באופן תכסיסי את סדר פעולות השחקנים לכן אפשר לסדר את סדר השחקנים כרצוננו במעבר בין הצורות. המעבר הטבעי בין תיאור של משחק בצורה תכסיסית למשחק בצורה רחבה, הוא בניית עץ שבו שחקן א' בוחר ענף של אסטרטגיה ולאחר מכן שחקן ב' בוחר ענף של אסטרטגיה וכן הלאה. לדוגמה, אם נתון משחק בצורה תכסיסית בין שני משתתפים, ובו לכל שחקן שני תכסיסים אפשריים, אזי נוכל לבנות עץ שבו שחקן א' מתחיל ויש לו ענפים לכל אחד מן התכסיסים המובילים לקודקודים שבהם תור שחקן ב' לשחק והם תחת אותה [[קבוצת ידיעה]], מכל אחד משני קודקודים אלו יצאו שתי ענפים עם התכסיסים האפשריים של שחקן ב'. סך הכל קיבלנו ארבעה עלים שעליהם נרשום את תשלומי השחקנים, על פי ארבעת תאי המטריצה המקורית. באותה המידה היה ניתן לבחור את שחקן ב' כפותח המשחק ושיוביל לקודקודים שבהם שחקן א' משחק, אך אין זה ישנה את מהות המשחק מאחר שעצם היות הקודקודים תחת אותה קבוצת הידיעה אומר שאינם יודעים מה הייתה הבחירה של השחקן הקודם שדרכו הגיעו למצב הנתון.

 

==ראו גם==

*[[משחק בצורה גרפית]]

*[[מונחים בתורת המשחקים]]

 

==לקריאה נוספת==