משפט נילסן-שרייר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←הוכחה: הגהה |
מ ←הוכחה: minor chenges |
||
שורה 11:
הוכחה קצרה המבוססת על [[טופולוגיה אלגברית]] נמצאה על ידי [[ריינהולד בר]] ו[[פרידריך לוי]].
תהי <math>\ \langle X\rangle</math> חבורה חופשית. נסתכל על ה[[מולטיגרף]] עם צומת אחד ועם <math>|X|</math> קשתות המחברות את הצומת לעצמו. זהו [[מרחב טופולוגי]] המתקבל מלקיחת <math>|X|</math> מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים. ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של המולטיגרף היא <math>\ \langle X\rangle</math> - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר. כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של [[מרחב כיסוי]]
נבחר [[עץ פורש]] של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה [[אקסיומת הבחירה]], אם הגרף אינופי) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף. פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של [[מרחב מנה (טופולוגיה)|מרחב המנה]] של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת). באופן כזה נקבל מולטיגרף [[שקילות הומוטופית|שקול הומוטופית]] למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד. החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.
[[קטגוריה:משפטים בתורת החבורות|נילסן-שרייר]]
|