הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב דואלי"

נוספו 2,637 בתים ,  לפני 15 שנים
אין תקציר עריכה
(בוט - מחליף 'ע"י' ב'על ידי')
'''המרחב הדואלי''' הוא מבנה טבעי המוגדר על [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (אלגברה)|שדה]] F. זהו מרחב הכולל את כל ה[[פונקציונל|פונקציונלים]] הליניאריים V לשדה F. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].
 
==הגדרת המרחב הדואלי==
 
=== מעל מרחב וקטורי ===
 
יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>.
'''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' שיסומן ב-<math>\ V^* </math> הוא המרחב הוקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\ V \to F</math>. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית.
 
איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]].
 
=== מעל מרחב בנך ===
 
יהי <math>\ X</math> [[מרחב בנך]] מעל [[שדה (אלגברה)|שדה סקלרי]] <math>\ F</math>. אזי [[פונקציונל]] <math>\ \Phi : X(F) \to F</math> הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה <math>\ F</math>.
 
נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל <math>\ X</math> בסימון <math>\ X^\#</math>. זהו [[מרחב לינארי]]. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת ה[[טרנספורמציה לינארית|לינאריות]].
 
מגדירים [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:
: <math>\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | }
{\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }</math>
 
אזי תמיד מתקיים ש <math>\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|</math>.
 
פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( <math>\ \| \Phi \| < \infty</math>) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט [[רציפות|פונקציונל רציף]] לפי [[תנאי ליפשיץ]].
 
את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך]] - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב <math>\ X^*</math> קוראים "'''המרחב הדואלי'''" של <math>\ X</math>.
 
למרחב הדואלי יש חשיבות רבה ב[[אנליזה פונקציונלית]].
 
==הבסיס הדואלי==
בסיס עבורו.
 
נסמן ב-<math>\ v_i^*</math> את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על <math>\ v_i</math> ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).
<math>\ v_i</math> ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).
 
הקבוצה <math>\ \left\{v_i^*\right\}_{i=1}^n</math> מהווה בסיס ל-<math>\ V^* </math> שיקרא '''הבסיס הדואלי'''. בסיס זה מקיים את כלל ה[[דלתא של קרונקר]] - <math>\ v_i^* (v_j) = \delta_{ij}</math> - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.
 
==ההעתקה הדואלית==
<math>\ A^t</math> תייצג את <math>\ T^*</math> בבסיסים הדואליים המתאימים.
 
== ראו גם ==
 
* [[פונקציונל]]
* [[אנליזה פונקציונלית]]
* [[מרחב בנך]]
 
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]