אופרטור צמוד – הבדלי גרסאות

נוספו 113 בתים ,  לפני 9 שנים
== מרחבי מכפלה פנימית ==
 
כאשר מוגדרת על V מכפלה פנימית, היא מאפשרת לזהות את V עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור x מותאם לפונקציונל <math>\ f_x : y \rightarrow (y,x)</math>. נניח שגם על W מוגדרת מכפלה פנימית משלו. אם <math>\ T : V \rightarrow W</math> העתקה לינארית, אזהקובעת לכלזיהוי <math>\ w \inשל W</math> ולכלעם <math>\המרחב vהדואלי \inשלו V</math>באותו מתקייםאופן.
 
<math>\ (v,T^*w)=(T^*f_w)(v) = f_w(Tv) = (Tv,w)</math>. את השוויון <math>\ (v,T^*w)=(Tv,w)</math> אפשר לקבל מלכתחילה כהגדרה של <math>\ T^* : W \rightarrow V</math>, והגדרה זו מתלכדת כאמור עם ההגדרה במקרה הכללי.
אם <math>\ T : V \rightarrow W</math> העתקה לינארית, אז מגדירים <math>\ T* : W \rightarrow V</math> כך שיתקיים, לכל <math>\ w \in W</math>, <math>\,f_{T^*w} = T^*f_w</math>; כלומר, לכל <math>\ v \in V</math>, <math>\,(v,T^*w) = f_{T^*w}(v) = T^*f_w(v) = f_w(Tv) = (Tv,w)</math>. כך מגדיר השוויון <math>\ (v,T^*w)=(Tv,w)</math> את האופרטור החדש <math>\ T^* : W \rightarrow V</math>.
 
במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] שבה מתקיים <math>\ (x,\alpha y) = \bar{\alpha}(x,y)</math>, הזיהוי של V עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: <math>\ (\alpha T)^* = \bar{\alpha}T^*</math>.