|
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט קנטור''' על רציפות במידה שווה קובע כי [[פונקציה]] שהיא [[רציפות|רציפה]] על [[קטע סגור]] היא [[רציפות במידה שווה|רציפה במידה שווה]] בו.
המשפט חלנותר עלנכון כלגם אם נחליף את הקטע בכל [[קומפקטיות|קבוצה קומפקטית]]: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.
==הוכחה==
כעת נוכיח כי <math>\ y_{n_k}\rarr x_0</math> - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.
כיוון ש-<math>\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}</math> נובע כי <math>\ |x_{n_k}-y_{n_k}|<\frac{1}{n_k}</math>, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי
יהא <math>\ \varepsilon>0</math> כלשהו. עלינו למצוא <math>\ K>0</math> כך שלכל <math>\ k>K</math> יתקיים <math>\ |y_{n_k}-x_0|<\varepsilon</math>.
<math>\lim_{k \to \infty} (y_{n_k}) = \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) - \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - y_{n_k}) = x_0</math>
ראשית נשים לב כי מהתכנסות <math>\ x_{n_k}</math> נובע שקיים <math>\ K_1</math> כך שלכל <math>\ k>K_1</math> מתקיים <math>\ |x_{n_k}-x_0|<\frac{\varepsilon}{2}</math>. קיים גם <math>\ N</math> טבעי גדול דיו כך שיתקיים <math>\ \frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math> לכל <math>\ n>N</math>, וקיים <math>\ K_2</math> כך שלכל <math>\ k>K_2</math> מתקיים <math>\ n_k>N</math> (כלומר, החל ממקום מסוים בתת-הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת-הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר <math>\ N</math>).
הראינו כי <math>\ y_{n_k}\rarr x_0</math>. כעת נובע, על פי רציפות <math>\ f</math>, שמתקייםמתקיים: <math>\ f(x_{n_k})\rarr f(x_0),f(y_{n_k})\rarr f(x_0)</math>. מאריתמטיקה של גבולות נקבל <math>\ f(x_{n_k})- f(y_{n_k})\rarr 0</math>, וזו סתירה לכך שמתקיים <math>\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0</math> לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה. ▼נבחר <math>\ K=\max\left\{k_1,k_2\right\}</math> ואז לכל <math>\ k>K</math> יתקיים:
<math>\ |y_{n_k}-x_0|\le|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x_0|<\frac{1}{n_k}+\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>.
המעבר הראשון הוא [[אי שוויון המשולש]]. המעבר השני נובע מהתכנסות<math>\ x_{n_k}</math> ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות<math>\ x_n,y_n</math>. המעבר השלישי נובע מבחירת <math>\ K</math> גדול דיו.
▲הראינו כי <math>\ y_{n_k}\rarr x_0</math>. כעת נובע, על פי רציפות <math>\ f</math>, שמתקיים: <math>\ f(x_{n_k})\rarr f(x_0),f(y_{n_k})\rarr f(x_0)</math>. מאריתמטיקה של גבולות נקבל <math>\ f(x_{n_k})- f(y_{n_k})\rarr 0</math>, וזו סתירה לכך שמתקיים <math>\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0</math> לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.
{{אנליזה מתמטית}}
| 