אוריינטציה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←קובורדיזם: ויקיזציה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 32:
[[תמונה:Surface normal.png|שמאל|ממוזער|150px|בחירת [[שדה וקטורי|שדה]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה}} ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח]]
אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת [[שדה וקטורי]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה|שדה וקטורי נורמלי למשטח
בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.
שורה 116:
===הגדרה באמצעות תבניות===
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על <math>V</math> גם באמצעות [[תבנית מולטי-לינארית אנטי-סימטרית|<math>n</math>-תבניות אנטי-סימטריות]] (להלן תבניות). תבנית
<center><math>\omega:\underset{n \text{ copies }}{\underbrace{V\times\dots\times V}} \to \mathbb R</math></center>
המקיימת:
* <math>\omega</math> לינארית על פי כל אחד מהמשתנים ב <math>V</math>
* <math>\omega</math> [[פונקציה אנטי-סימטרית|אנטי-סימטרית]] ביחס להחלפת כל שני משתנים ב <math>V</math>.
מרחב התבניות
כעת ניתן להגדיר
שורה 143:
תהי <math>M</math> יריעה חלקה מממד <math>n</math>.
===הגדרה===
אוריינטציה <math>o</math> על <math>M</math>
=====הגדרה באמצעות תבניות=====
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת [[תבנית דיפרנציאלית|תבניות דיפרנציאליות]] {{אנג|Differential form}}.
<math>n</math>-תבנית דיפרנציאלית (להלן תבנית דיפרנציאלית)
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר
שורה 168:
יהי <math>N \subset M </math> [[היפר משטח]] {{אנג|Hypersurface}} ב-<math>M</math> (זאת אומרת [[תת-יריעה]] {{אנג|Submanifold}} <math>n-1</math> ממדית).
[[שדה וקטורי|שדה]] [[טרנסברסליות|טרנסברסלי]] {{אנג|Transversality (mathematics)|transverse}} <math>\xi</math> על <math>N \subset M </math>
<center><math>\xi_x\notin T_xN.</math>
</center>
שורה 180:
=====יריעה עם שפה=====
אם <math>M</math> היא [[יריעה עם שפה]] {{אנג|Manifold with boundary|Manifold with boundary}} אז השפה <math>\part M</math> של <math>M</math>
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
שורה 473:
===ספירת נקודות מכוונת ===
לאורינטציה תפקיד בבניות רובות ב[[טופולוגיה דיפרנציאלית]]. צורת שימוש אחת באורינטציה, היא בהרחבת מושג ה[[מנייה|ספירה]].
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות [[קומפקט]]יות מממד אפס,
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אוביקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האוביקט הנמלד (בדרך כלל בניה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אוביקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות [[חשבון מודולרי|מודולו]] 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב <math>\Z</math> אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב<math>\Z/2\Z</math>, מה שהופך אותו לחלש יותר.
|