ויקיפדיה

אוריינטציה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ ←‏קובורדיזם: ויקיזציה
אין תקציר עריכה
שורה 32:
[[תמונה:Surface normal.png|שמאל|ממוזער|150px|בחירת [[שדה וקטורי|שדה]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה}} ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח]]
אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת [[שדה וקטורי]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה|שדה וקטורי נורמלי למשטח הינוהוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת.}} למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק ל[[היפר-משטח]]ים {{אנג|Hypersurface}}, זאת אומרת ליריעות <math>k</math> ממדיות ב[[מרחב אוקלידי|<math>\mathbb{R}^{k+1}</math>]].
 
בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.
שורה 116:
 
===הגדרה באמצעות תבניות===
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על <math>V</math> גם באמצעות [[תבנית מולטי-לינארית אנטי-סימטרית|<math>n</math>-תבניות אנטי-סימטריות]] (להלן תבניות). תבנית הינההיא [[פונקציה]]
<center><math>\omega:\underset{n \text{ copies }}{\underbrace{V\times\dots\times V}} \to \mathbb R</math></center>
המקיימת:
* <math>\omega</math> לינארית על פי כל אחד מהמשתנים ב <math>V</math>
* <math>\omega</math> [[פונקציה אנטי-סימטרית|אנטי-סימטרית]] ביחס להחלפת כל שני משתנים ב <math>V</math>.
מרחב התבניות הינוהוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
כעת ניתן להגדיר
 
שורה 143:
תהי <math>M</math> יריעה חלקה מממד <math>n</math>.
===הגדרה===
אוריינטציה <math>o</math> על <math>M</math> הינההיא התאמה של אוריינטציה <math>o_x</math> על [[המרחב המשיק]] לכל נקודה <math>x \in X</math> "התלויה באופן [[רציפות|רציף]]" בנקודה <math>x</math>.
=====הגדרה באמצעות תבניות=====
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת [[תבנית דיפרנציאלית|תבניות דיפרנציאליות]] {{אנג|Differential form}}.
<math>n</math>-תבנית דיפרנציאלית (להלן תבנית דיפרנציאלית) הינההיא התאמה חלקה של [[תבנית מולטי-לינארית אנטי-סימטרית|<math>n</math>-תבניות אנטי-סימטריות]] על המרחב המשיק <math>T_xM</math> עבור כל <math>x \in M</math>.
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר
שורה 168:
יהי <math>N \subset M </math> [[היפר משטח]] {{אנג|Hypersurface}} ב-<math>M</math> (זאת אומרת [[תת-יריעה]] {{אנג|Submanifold}} <math>n-1</math> ממדית).
 
[[שדה וקטורי|שדה]] [[טרנסברסליות|טרנסברסלי]] {{אנג|Transversality (mathematics)|transverse}} <math>\xi</math> על <math>N \subset M </math> הינוהוא התאמה של ווקטור משיק <math>\xi_x\in T_xM</math> ל <math>M</math> בכל נקודה <math>x \in N</math> כך ש
<center><math>\xi_x\notin T_xN.</math>
</center>
שורה 180:
 
=====יריעה עם שפה=====
אם <math>M</math> היא [[יריעה עם שפה]] {{אנג|Manifold with boundary|Manifold with boundary}} אז השפה <math>\part M</math> של <math>M</math> הינההיא היפר-משטח ב <math>.M</math> ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על <math>.\part M</math> זאת אומרת שדה טרנסברסלי על <math>\part M</math> אשר לא נמצא ב[[חצי-מרחב משיק|חצי-מרחב המשיק]]{{הערה|חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה <math>M</math> בנקודה <math>x</math> על השפה, הוא [[חצי-מרחב]] בתוך המרחב המשיק <math>T_xM</math> המכיל את הכיוונים המפנים לתוך <math>M</math>}} ל <math>M</math> באף נקודה <math>.x \in \part M</math> האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת '''האוריינטציה המושרית''' על <math>.\part M</math>
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
 
שורה 473:
===ספירת נקודות מכוונת ===
לאורינטציה תפקיד בבניות רובות ב[[טופולוגיה דיפרנציאלית]]. צורת שימוש אחת באורינטציה, היא בהרחבת מושג ה[[מנייה|ספירה]].
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות [[קומפקט]]יות מממד אפס, דהינודהיינו קבוצות [[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטיות]] סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא [[מספר טבעי]] והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אורינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אורינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.
 
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אוביקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האוביקט הנמלד (בדרך כלל בניה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אוביקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות [[חשבון מודולרי|מודולו]] 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב <math>\Z</math> אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב<math>\Z/2\Z</math>, מה שהופך אותו לחלש יותר.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אוריינטציה_(מתמטיקה)"