מונה מדיד – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q925445 |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 18:
במשך תקופה ארוכה לא היה ידוע האם ייתכן שהאי-נשיג הראשון יהיה מדיד. רק לאחר התוצאות על [[מונה קומפקטי חלש|מונים קומפקטיים חלשים]] היה ניתן להראות כי מתחת למונה המדיד הראשון יש אי-נשיגים רבים.
הפער חודד בעקבות העבודה של [[דנה סקוט|סקוט]] בשנות ה-60 על שימוש במונים מדידים כדי לייצר [[מודל פנימי]] באמצעות לקיחת [[על מכפלה (תורת המודלים)|על-
[[רוברט סולוביי|סולוביי]] הראה בשנות ה-70 כי אם κ הוא מדיד אז על ידי [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] ניתן לייצר מודל בו κ הוא מדיד ממשית, וכן שאם κ מדיד ממשית אז יש מודל פנימי בו הוא מדיד, ובכך הוא הראה שחוזק ההתיישבות של שני המושגים הוא זהה - כלומר ניתן להראות שטענה היא עקבית בהנחה שקיים מונה מדיד אם ורק אם ניתן להראות כי היא עקבית בהנחה שקיים מדיד ממשית.
שורה 28:
* <math>< V_{\kappa + 1},\in> \approx \prod_\alpha < V_{\alpha + 1},\in >/U</math>, כאשר U על-מסנן κ שלם ונורמלי. כלומר <math>V_{\kappa + 1}</math> איזומורפית לעל-מכפלה של הרישות הקטנות יותר <math>V_{\alpha + 1}</math>. בפרט, כל תכונה שניתן לנסח על κ במסגרת <math>V_{\kappa + 1}</math> מתקיימת גם בקבוצה ממידה 1 של סודרים מתחתיו - בפרט יש קבוצה ממידה 1 של קומפקטיים-חלש מתחת המדיד וכן הלאה.
* במודל ללא אקסיומת הבחירה, מונה מדיד לא חייב להיות אי-נשיג. למשל במודל של [[אקסיומת ההכרעה]] (כלומר שכל משחק על הממשיים מוכרע), מתקיים שאוסף הקבוצות הסגורות והלא-חסומות ב-<math>\omega_1</math> יוצר על מסנן (סיגמא-שלם), כלומר <math>\aleph_1</math> מדיד.
== על מסננים נורמליים ==
על מסנן U ייקרא נורמלי אם מתקיימת בו גרסה של [[למת פודור]]: אם <math>f: \kappa \rightarrow \kappa</math> מקיימת <math>\forall \alpha \in A,\, f(\alpha) < \alpha</math> ו-A קבוצה ממידה 1 אז יש קבוצה B ממידה 1 בה f קבועה.
דרך נוספת לאפיין את תכונת הנורמליות, היא באופן הבא: על מסנן U הוא נורמלי אם מתקיים <math>[id]_U = \kappa</math> (כאשר <math>id : \kappa \rightarrow \kappa</math>, <math>id(\alpha) = \alpha</math> ו-<math>[id]_U</math> היא מחלקת השקילות של הפונקציה id כאיבר של על-החזקה, אותה זיהינו עם M). כיוון שכל ערכי id הם סודרים, לפי [[משפט Łoś]], גם <math>[id]_U</math> הוא סודר בעל חזקה, וכיוון שהיא מבוססת היטב - הוא סודר ב-V. באופן כללי, תמיד יתקיים כי <math>[id]_U \geq \kappa</math>, ולכן אפשר לחשוב על הנורמליות כתכונת מזעור.
נעיר כי על מסננים נורמליים מתקבלים באופן טבעי מתוך שיכונים אלמנטריים, כמו שציינו קודם: <math>U = \{X \subset \kappa | \kappa \in j(X)\}</math> הוא על מסנן נורמלי.
אם U על מסנן נורמלי, נוכל להשתמש במשפט Łoś כדי להשיג מגוון של תוצאות השתקפות, כלומר תוצאות המראות כי אם המונה המדיד מקיים תכונה מסויימת אז קיימת קבוצה ממידה 1 מתחתיו (ובפרט לא חסומה) המקיימת את אותה תכונה. נדגים זאת לגבי קומפקטיות חלשה: ראינו כי כל מונה מדיד κ הוא קומפקטי-חלש. נסתכל על המונה κ ב-M. גם שם הוא קומפקטי חלש, כיוון ש-M מכיל את כל תתי הקבוצות של κ (מ-V). כיוון שכל עץ ניתן לייצג כתת קבוצה של κ וחשוב יותר - כל ענף ניתן לייצוג כזה, נקבל כי גם ב-M מתקיימת תכונת העץ ב-κ. כעת, κ מיוצג על ידי הפונקציה id ולכן לפי משפט Łoś: על קבוצה ממידה 1 של סודרים, <math>id(\alpha)</math>, כלומר <math>\alpha</math> יקיים את תכונת העץ ב-V.
== סדר מיטשל של מונה מדיד ==
עבור מונה מדיד κ, אין הכרח שב-M, עדיין κ יהיה מדיד. למעשה, מהסעיף הקודם, אם זה נכון אז בהכרח יש מתחת ל-κ קבוצה ממידה 1 של מדידים, כלומר זו הנחה שהיא חזקה יותר ממדידות. אם זה קורה נאמר של-κ יש סדר מיטשל 2 (2 Mitchell order).
באופן כללי, נגדיר יחס סדר חלקי על אוסף העל-מסננים הנורמליים של κ, על ידי <math>U_1 < U_2 \iff U_1 \in Ult_{U_2}(V)</math> כאשר <math>Ult_U(V)</math> הוא על החזקה של V לפי על-המסנן U. יחס זה הוא מבוסס היטב (כלומר אין בו ענף יורד אינסופי) ולכן ניתן לדבר על הגובה שלו:
:<math>o(U) = sup\{o(U') + 1 | U' < U\}, \, o(\kappa) = sup\{o(U) + 1\}</math>
<math>o(\kappa)</math> נקרא הסדר של κ, והוא חסום על ידי <math>(2^{\kappa})^{+}</math>. תחת [[השערת הרצף המוכללת]], סדר מיטשל של κ הוא לכל היותר <sup>++</sup>κ.
== לקריאה נוספת ==
| |||