עוצמה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Addbot (שיחה | תרומות)
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q163875
שורה 60:
'''כפל'''. המכפלה <math>\ |A|\cdot |B|</math> מוגדרת כעוצמתה של ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>\ A \times B</math>. גם פעולה זו היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ואף [[דיסטריבוטיביות|דיסטריבוטיבית]] ביחס לחיבור. המכפלה של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת באותה צורה כעוצמת המכפלה הקרטזית של קבוצות מעוצמות מתאימות. ראו [[עקרון הכפל]].
 
'''חזקה'''. החזקה <math>\ |A|^{|B|}</math> מוגדרת כעוצמתה של קבוצת הפונקציות <math>\ B\rightarrow A</math>. הפעולה מקיימת את האקסיומות הרגילות של החזקה, כדוגמת <math>\ |A|^{|B|+|C|}=|A|^{|B|}\cdot |A|^{|C|}</math> ו- <math>\ |A|^{|B|\cdot|C|}=(|A|^{|B|})^{|C|}</math>. מכיוון שיש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה (הלא היא הפונקציה הריקה), מתקיים <math>\ |A|^0=1</math> לכל עוצמה; בפרט <math>\ 0^0=1</math>. מ[[משפט קנטור]] ומההתאמה בין [[קבוצת החזקה]] לקבוצת הפונקציות מקבוצה A לקבוצה <math>\ \{0,1\}</math> מקבלים <math>\ |A|<|P(A)|=2^{|A|}</math>. בהשוואה לזה, עקבי להניח ש-<math>2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}</math>.
 
אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]], ולפחות אחת מהעוצמות <math>\kappa, \mu</math> היא אינסופית, אז מתקיים <math>\kappa+\mu = \kappa \cdot \mu = \max \{ \kappa,\mu \}</math>. לכן עיקר העניין הוא במכפלות ובסכומים אינסופיים של עוצמות.